考点12 等比数列（解析版）-2024年新高考艺体生一轮复习.docx

考点12等比数列

等比数列定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．

二．等比数列的有关公式

1.通项公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.

2.前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))

三．等比中项

1.等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．

2.若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；

四．等比数列的前n项和

1.数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

2.数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

五．等比数列的判定方法

1.定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．

2.中项公式法：若数列{an}中an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

3.通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

4.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．

注意：

(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

六.等比数列的单调性

当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；

当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列．

考点一等比数列基本量的计算

【例】（2023·云南）在等比数列中，

(1)已知，，求；

(2)已知，，，求；

(3)已知，，求；

(4)已知，，求．

(5)，，求；

(6)，，求；

(7)，，求；

(8)，，求．

【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或(8)

【解析】（1）等比数列中，，，则.

（2）等比数列中，，，，由，可得.

（3）等比数列中，，，由，可得.

（4）等比数列中，，，由，可得.

（5），，故

（6），又，故，故，

（7）由，可得，即，解得或.

（8），故，即

【变式】

（2023·广东各地节选）已知数列为等比数列，前n项和为

(1)，，；

(2)，，；

(3)，，；

(4)，，．

(5)，，求；

(6)，，求q；

(7)，，求．

(8)，，求n；

(9)，求及.

【答案】(1)(2)(3)(4)378(5)(6)或(7)(8)6(9)，

【解析】（1）由，，得

（2）由，，得

（3）由，，得

（4）由，，得

（5）等比数列中，，，，解得．

（6）在等比数列中，，，显然公比，，整理得，

解得或．

（7）因为，，所以公比，所以，，

所以，即，所以，所以，则.

（8）显然，由，即，解得，又，即，所以.

（9）由知，由题意得??，

两式相除得，得，，

所以，.

考点二等比中项

【例2-1】（2023·宁夏银川）已知数列为等比数列，，则（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【解析】由题设，则，所以.故选：B

【例2-2】（2023·北京）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（???）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】∵是方程的两根，∴，

∵数列为正项等比数列，∴，∴，故选：A．

【变式】

1．（2023·江苏苏州）已知等比数列中，，，则（????）

A．4或 B． C．4 D．8

【答案】C

【解析】设公比为，则，

因为，，所以，所以.故选：C.

2．（2023·云南大理）已知各项均为正数的等比数列，，，则（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】由等比数列，，，有，

又因为各项均为正数，所以.故选：C．

3．（2023·上海闵行）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（????）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为，

则，，.

故选：B.

4．（2023·四川甘孜·统考一模）在等比数列中，是方程的两根，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析