2025版高考数学一轮复习第六篇不等式必修5第4节基本不等式习题理含解析.docVIP

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第4节基本不等式

【选题明细表】

学问点、方法

题号

基本不等式的理解

1,2

利用基本不等式求最值

3,4,5,8

基本不等式的实际应用

7

综合应用

6,9,10,11,12,13,14

基础巩固(时间:30分钟)

1.(2024·衡水周测)下列不等式肯定成立的是(C)

(A)lg(x2+)lgx(x0)

(B)sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)

(C)x2+1≥2|x|(x∈R)

(D)1(x∈R)

解析:当x0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lgx(x0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.

2.(2024·黄石月考)设0ab,则下列不等式中正确的是(B)

(A)ab (B)ab

(C)ab (D)ab

解析:法一由a=,b==,0ab,及均值不等式知.故选B.

法二特别值法,令a=1,b=2,代入验证即可.

3.(2015·湖南卷)若实数a,b满意+=,则ab的最小值为(C)

(A) (B)2 (C)2 (D)4

解析:由题设易知a0,b0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.

4.(2024·白城模拟)若x,则f(x)=4x+的最小值为(D)

(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7

解析:f(x)=4x+=4x-5++5.

因为x,所以4x-50,

所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.

5.(2024·孝感模拟)已知a0,b0,2a+b=1,则+的最小值是(D)

(A)4 (B) (C)8 (D)9

解析:因为2a+b=1,又a0,b0,

所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.

6.(2024·西宁模拟)设a0,b0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于(C)

(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2

解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.

7.(2024·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,假如在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站公里处.?

解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.

答案:5

8.(2024·天津卷)若a,b∈R,ab0,则的最小值为.?

解析:因为a,b∈R,ab0,

所以≥=4ab+≥2=4,

当且仅当即时取得等号.

故的最小值为4.

答案:4

实力提升(时间:15分钟)

9.(2024·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{an}中,若m,n∈N*满意am=,则+的最小值为(A)

(A)1 (B) (C)2 (D)

解析:设{an}的公比为q,由题意得am=qm,an=qn,a4=q4,所以qm+2n=q8.

所以m+2n=8,所以=1,

又因为m,n∈N*,

所以+=+=+++≥+2=1.

当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.

10.(2024·信阳模拟)已知两个正数x,y满意x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为(B)

(A)5,5 (B)10, (C)10,5 (D)10,10

解析:因为x0,y0,

所以xy=x+4y+5≥4+5.

令=t,

则t2≥4t+5,即t2-4t-5≥0.

解得t≥5或t≤-1(舍去),

所以≥5.

由解得

所以x=10,y=.

11.(2024·太原模拟)设x,y满意约束条件

若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为1,则+的最小值为(D)

(A) (B) (C) (D)4

解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a0,b0,

所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,

所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号.

12.(2024·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)上,且满意=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为(B)

(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4

解析:依据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2