正态分布高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册.pptx

3.3正态分布

1.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态曲线的特点.

2.了解正态分布的均值、方差及其含义.

3.了解“3σ原则”，会求随机变量在特殊区间内的概率.

现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题.

例如，对直径为1cm的圆的周长进行测量，由于多种偶然因素的影响，测量出的数据是有差异的.若记X为测量出的数据，则X是一个随机变量，实际问题中需要关心X取值的概率分布，为了确定X的概率分布，我们记录了90次测量的数据(即样本点个数为90)，把它们进行分组整理后得如右分组数据表:

以测量出的数据为横坐标，以组频率/组距为纵坐标，就可以得到频率分布图.图中每个小矩形的面积就是样本落在该分组区间内的频率.

问题1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？

正态曲线

若随机变量X的概率分布密度函数为φ(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2).

特别地，当u=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.即X~N(0，1).

思考：观察下列正态曲线，你能发现正态曲线有哪些特点？

(1)正态曲线关于x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点.

(2)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.

正态曲线的性质

(3)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;

(4)σ决定正态曲线的“胖瘦”：

(随机变量X取遍(-∞，+∞)内任意值，其概率的和为1)

正态分布的“3σ原则”：

如果X~N(μ，σ2)，那么：

在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取

[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.

例1把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是（）

A.曲线b仍然是正态曲线

B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等

C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2

D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2

D

例2设X~N(1，22)，试求：

(1)P(-1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．

(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值；

(2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；

(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．

求正态变量X在某区间内取值的概率

例3李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.

(1)估计X，Y的分布中的参数;

(2）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由.

解:(1)随机变量X（公交车）的样本均值为30,样本标准差为6;

随机变量Y（骑自行车）的样本均值为34,样本标准差为2.

用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,

可以得到X~N(30,36),Y~N(34,4).

(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,

由图可知,P(X≤38)P(Y≤38),

P(X≤34)P(Y≤34).

所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;

如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车,

1.正态曲线与x轴在区间[μ+σ,+∞]内所围的面积为 ()

A.0.5 B.0.3413 C.0.1587 D.0.0215

C

2.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)．若这批零件共有5000个，试求：

(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比为；

(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有个.

68.27%

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根据本节课所学回答下列问题：

1.正态曲线有哪些性质？

2.什么是正态分布的“3σ原则”？