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基于有限元法的物体受力变形和应力研究

作者：王重

来源：《科技视界》2014年第17期

王重

（上海飞机设计研究院环控氧气系统设计研究部，中国上海201210）

【摘要】本文以工程中常见的弯曲悬臂梁作为研究对象，基于有限元分析方法对悬臂梁

进行计算模型建立，并求解出悬臂梁在受力后的变形轮廓和应力分布，为其设计和优化提供了

验证和指导。结果表明，该悬臂梁在受力时中部位置应力较大，为该工况下的薄弱区域，需要

进行局部加强，以防止在使用中发生失效。

【关键词】弯曲悬臂梁；有限元；刚度矩阵；变形；应力；应变

0引言

物体受力变形和应力分析是工程中的常见问题，它在受力零件设计过程中是不可或缺的重

要工作，例如在飞机承力梁、高压导管支架等的设计阶段对其将来在飞行中承受载荷后会出现

的变形量、变形后轮廓进行估计以及完成强度校核。这类问题的实质是经典弹性问题，它们的

数学模型一般都是一组具有相应边界条件和初值的微分方程，这些微分方程组的解析解能够向

我们展示出精确且完整的系统行为，也就是我们所需要的分析结果[1-2]。但由于这些微分方程

组的复杂性，我们又往往无法得到它们的解析解，这时我们就需要利用数值方法来求出近似解，

这时在系统中各“节点”的数值解近似于解析解。因此我们在使用数值方法进行求解前需要对

“节点”和“单元”进行合理划分和定义，也就是“离散化”[2-3]。在此过程之后我们再使用

数值解法对问题进行求解。有限元法是工程中常用的一种数值解法，它使用积分方法来建立系

统的代数方程组，用一个连续的函数来近似描述每个单元的解，正因为每个单元的边界是连续

的，因此整个系统的解可以由每一个单个的解“组装”起来[2-3]。不难理解，当我们所划分的

单元趋近于无穷多时，使用有限元法所得的解会趋近于精确解。本文将基于有限元法的基本原

理，对具体受力物体进行变形和应力的分析和研究，求解出物体的形变轮廓和相应的应力分布。

1物体受力工况

图1所示为工程中常见的弯曲悬臂梁。假设该悬臂梁的形状为圆形的四分之一，不考虑悬

臂梁自重，所以当不受外力时悬臂梁处于无应力状态。内边半径为r=2.5m，梁厚度为h=0.5m，

宽度为0.1m。悬臂梁材料的杨氏模量为75GPa，泊松比为0.3。所受外部拉力为t=40kPa。假设

该问题为平面应变问题。

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2单元划分

首先为悬臂梁建立一个整体坐标系，在整体坐标系下将悬臂梁划分为(i-1)×(j-1)个单元，

相应在梁上得到了i×j个节点，如图2所示。

3单元分析

上一节得到了每个单元在整体坐标系中的描述，现在就每个单元进行独立分析。就每个单

元建立局部坐标系，如图3所示。

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4有限元法求解

对于经典弹性力学问题中的平面单元，应力应变情况如图4所示：

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由于前i个节点为固定点，可将公式中各矩阵的前2i行去除，最终可求得各节点的位移值，

计算结果如图5：

可以看出悬臂梁在受拉力后尖端形变位移量最大，向固定端方向形变位移逐渐减小。

根据公式（16），可求得每个单元的应变。得到应变后可以根据公式（14）和公式（33）

求出米塞斯应力：

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