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2017年高考数学—立体几何（解答+答案）

1.（17全国1理18.（12分））

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.

2.（17全国1文18．（12分））

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.

3.（17全国2理19.（12分））

如图，四棱锥中，侧面为等比三角形且垂直于底面，是的中点.

（1）证明：直线平面PAB

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值

4.17全国2文18.(12分)

如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，。

证明：直线平面；

若的面积为，求四棱锥的体积。

5.（17全国3理19．（12分））

如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．

（1）证明：平面平面；

（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分．求二面角的余弦值．

6.（17全国3文19．（12分））

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

7.（17北京理（16）（本小题14分））

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面

（I）求证：为的中点；

（II）求二面角的大小；

（III）求直线与平面所成角的正弦值．

8.（17北京文（18）（本小题14分））

如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．

9.（17山东理17.）

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.

（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；

（Ⅱ）当，，求二面角的大小.

10.（17山东文（18）（本小题满分12分））

由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，为AC与BD的交点，E为AD的中点，平面ABCD,

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面平面.

11.（17天津理（17）（本小题满分13分））

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

12.（17天津文（17）（本小题满分13分））

如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

13.（17浙江19．（本题满分15分））

如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

14.（17江苏15.（本小题满分14分））

如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD。

求证：（1）平面；

（2）

15.（17江苏18.（本小题满分16分））

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.

16.（（本小题满分10分））

如图，在平行六面体中，⊥平面，且，，.

（1)求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值。

参考答案：

1.解：（1）由已知，得，

由于，故，从而平面

又平面，所以平面平面

（2）在平面内作，垂足为

由（1）可知，平面，故，

可得平面

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

由（1）及已知可得

所以

设是平面的法向量，则

即

可取

设是平面的法向量，则

即

可取

则

所以二面角的余弦值为

2.解：（1）由已知，得