湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则z=（???）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，，且，则实数（???）

A． B． C．5 D．10

4．已知，直线，，若，则（???）

A． B． C． D．

5．设为等差数列的前n项和，若，则（???）

A．10 B．15 C．21 D．38

6．已知圆与，动圆M与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

7．如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是（???）

A． B． C． D．

8．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（???）

A．该公司2020—2024年快递业务量逐年上升

B．该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件

C．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%

D．该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%

10．记等比数列的公比为q，前n项积为，已知，，，则（???）

A． B．

C．的最大值为 D．

11．已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（???）

A． B．

C． D．

三、填空题

12．若，则.

13．记数列的前n项和为，且满足，则.

14．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A，B为的中点，若，则C的渐近线的斜率为.

四、解答题

15．已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称.

(1)求的解析式；

(2)若，且，求的值.

16．记数列的前n项和为，已知.

(1)证明：是等差数列；

(2)若，证明：.

17．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，.

(1)求证：平面；

(2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与重合，点G是C与E在第一象限的交点，且.

(1)求E的方程.

(2)设过点的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.

（ⅰ）若l的倾斜角为45°，求的值；

（ⅱ）若P为C的准线上一点，设PA，PB，PF2的斜率分别为，证明：为和的等差中项.

19．已知函数，.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意，不等式恒成立，求a的值；

(3)若实数m，n满足，证明：.

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《湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

C

B

D

B

D

B

ABD

BD

题号

11

答案

AB

1．A

【分析】根据复数除法运算求解.

【详解】根据题意，，

则.

故选：A

2．C

【分析】解对数不等式，得到，根据交集概念求出答案.

【详解】，

故，

故.

故选：C

3．C

【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值.

【详解】由已知可得：，

因为，所以有，解之得：.

故选：C.

4．B

【分析】根据给定条件，利用两条直线垂直列式求解.

【详解】由直线与垂直，

得，即，解得，

而，所以.

故选：B

5．D

【分析】先由题中条件，结合等差数列下标之和的性质求出,再根据等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，

则，即，所以，则,

因此.

故选：D

6．B

【分析】由条件可得，结合椭圆的定义判断点的轨迹形状及位置，利用待定系数法求其方程.

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，设动圆的半径为，

由动圆与圆内切，且与圆外切，得，

则，因此点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，

而焦距，即，则短半轴长，

所以动圆圆心的轨迹方程为.

故选：B.

7．D

【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解.

【详解】由题意得，，

∴，

∴.