向量组的线性关系.ppt

方程组有非零解，有则称向量组线性相关。方程组只有零解，则称向量组线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：定理4有非零解线性相关秩（无关）（只有零解））（秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。推论2设n维向量组中含有m个向量,当mn时，此向量组必定线性相关。推论1当m=n时，即向量个数=分量个数时,线性相关（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即判断的线性相关性.例8.解:线性相关.第二节二、线性相关与线性无关的概念向量间的线性关系三、向量组线性相关性的判别一、线性组合与线性表示第三章一、线性组合与线性表示为组合系数.称设有n维向量组如果存在一组数则称是向量组的线性组合;定义1线性表示。称可由若向量可以由向量组的线性即存在一组数使得组合来表示，设由三维向量观察三个向量之间的关系，有我们称是和的线性组合。组成的向量组，也称可由和线性表示。例1.观察三个向量之间的关系，有观察四个向量之间的关系，有例.例.都可由n维单位向量组,任一n维向量,,+线性表示，即+而三维基本单位向量中任何一个向量，都不能由其他两个向量线性表示。n维基本单位向量它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。中任何一个向量，也不能由其他向量线性表示。设即=++（1）定理1设是为n维列向量组，可由线性表示有解其中因为中每个向量都可由向量组本身(2)向量组线性表示，(1)零向量可由任一组向量线性表示。例2.已知问是否可由线性表示？如能线性表示解:设有数就写出表达式.使有唯一解练习.已知问是否可由线性表示？如能线性表示解:设有数就写出表达式.使同解方程组为令得为任一常数.例3.判断是否为向量组的线性组合？解:设对矩阵若设由三维向量观察三个向量之间的关系，有又可以写成组成的向量组，引例二、线性相关与线性无关的概念如果存在一组不全为0的数设为m个n维向量组，，使成立，则称向量组线性相关。否则称则对任意不全为0的数，都有线性无关，即当且仅当时，式才成立。线性无。关而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式成立外还能找到不全为0的数使等式。成立若定义1根据向量的线性运算，只能得：例如则线性无关。例4.已知线性相关。即判别是否线性相关。解:因为当向量组只含一个向量时，为线性无关向量组.当为线性相关向量组;当特别当向量组含两个非零向量时，设线性相关与对应分量成正比与即与的对应分量成比例.证明:线性相关，则存在不全为零的数或与或例5.使得若例如对应分量不成比例，线性无关。对应分量成比例，线性相关。几何上说向量共线。例6.01求证含有零向量的向量组必线性相关,02则此向量组必定线性相关。03证明:04设向量组05中，06取数07必有08定理2.线性相关线性相关.即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。证明:线性相关因为则存在一组不全为0的数使成立，因此有其中不全为零。线性相关。部分相关，整体相关！线性无关线性无关.即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。定理3.利用定理2，用反证法。定理2和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间的关系。整体无关，部分无关！若线性无关，则线性无关。即：原来无关，延长无关！原来相关，缩短相关！若线性相关，则线性相关。已知证明：假设线性相关，则存在一组不全为0的数使得则因此必线性相关。三、向量组线性相关性的判别1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知解:设有数使得例7.判别下列向量组的线性相关性下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。即有得同解方程组得同解方程组令01（k为任意实数）02由03得04此向量组线性相关。05方程组有非零解，06(未知数个数n),07此向量组线性相关。08小结首先设有数使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将代入得齐次线性方程组。