湖南省2024届高三下学期5月适应性考试数学试卷.docx

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2024届高三5月适应性考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。

3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知某扇形纸片的圆心角为2，面积为1，则该扇形纸片的弧长为（）

A.8B.4C.2D.1

2.已知，则（）

A.B.C.D.

3.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

4.已知等差数列满足，，则（）

A.27B.34C.41D.48

5.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，，则

D.若，，，则

6.2024年3月28日小米必威体育精装版款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（）

A.B.C.D.

7.已知M，N为椭圆：上关于坐标原点对称的两点，为的半焦距，为上一点，且，，的左、右顶点分别为A，B，若，则的离心率为（）

A.B.C.D.

8.如图是一个倒置的圆锥形状的漏斗，高为，漏斗顶点处有一注水口（大小可忽略不计），可以通过注水口向漏斗注水.现保持漏斗的轴线竖直，由注水口向漏斗内匀速注水.记水面高度为，，时水面高度的瞬时增长率分别为，，则（）

A.B.C.D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.双曲线：的实轴长与虚轴长之和为6，为过原点且斜率存在的直线，则（）

A.的焦点坐标为

B.的浙近线方程为

C.与有交点的充要条件为的斜率的绝对值大于的渐近线斜率的绝对值

D.与无交点的充要条件为的斜率的绝对值小于的浙近线斜率的绝对值

10.已知函数图象的两个相邻的对称中心为，，则（）

A.，B.为偶函数

C.在区间上单调递减D.在区间上有5个极值点

11.已知数列的首项为2，且.记的前项和为，则（）

A.为等比数列B.为等差数列

C.D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.样本数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的中位数和上四分位数分别为______，______.

13.湘绣、湘茶、湘瓷是湖南的三大特产，其中湖南省株洲醴陵被誉为“中国陶瓷之都”，拥有近2000年的陶瓷历史，当地生产的五彩瓷享誉海内外.已知当地某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标近似服从正态分布，且.现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______.

14.以为直径的圆与曲线相切于点，且，点在直线上，则的最大值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.

（1）求；

（2）若，，求.

16.（15分）已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）探究在区间内的零点个数.

17.（15分）如图，直三棱柱中，，点在棱上，平面平面.

（1）证明；

（2）若P为棱的中点，且平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.

18.（17分）2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两.经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题，执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改.以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商販的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），.其他数据如下：，.

（1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的回归方程（、精确到0.001，下同）；

（2）经核实，数据点（0.99，0.305）严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算回归方程，证明：与斜率相等，并求回归方程.

参考公式与数据：回归直线中斜率的最小二乘法估计公式为：

，，.

19.（17分）在直角坐标系中，抛物线：的准线与轴的交点为.点，动点满足，记点的