预习14 等差数列的前n项和（九大考点）（原卷版）.docx

预习14等差数列的前n项和

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．探索并掌握等差数列的前n项和公式

2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系

3．能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题

知识点一、等差数列的前n项和公式

已知量

首项、末项与项数

首项、公差与项数

公式

等差数列前n项和的函数特点：

对于等差数列,如果是确定的,前项和.

若取,上式可写成.

当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.

知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用

1.等差数列前n项和的性质

（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.

（2）数列是等差数列(为常数)

（3）等差数列奇偶项和的性质：

①若项数为,则.

②

2.等差数列前n项和的最值

（1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.

（2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.

考点一：求等差数列的前n项和

例1．已知数列是等差数列，其中，则（??）

A．4050 B．4048 C．2025 D．2024

变式1-1．设等差数列的前项和为，且，，那么（????）

A． B．

C． D．

变式1-2．记为等差数列的前项和，若，则．

变式1-3．数列满足（且），，为数列的前项和，则．

考点二：前n项和有关的基本量计算

例2．（多选）设等差数列的前项和为．若，则（???）

A． B．

C． D．

变式2-1．设是等差数列的前n项和，若，则（????）

A．12 B．18 C．24 D．32

变式2-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（）

A．

B．

C．

D．

变式2-3．已知为等差数列的前项和，若，则.

考点三：片段和性质

例3．已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（????）

A． B． C．9 D．18

变式3-1．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为.

变式3-2．等差数列的前项和为，若，，则.

变式3-3．设等差数列的前项和，若，，则（????）

A．18 B．27 C．45 D．63

考点四：前n项和与n的比值

例4．已知为等差数列的前项和，若，且，则（????）

A．1 B．2 C． D．

变式4-1．已知等差数列的前项和为，且，则（????）

A． B． C． D．

变式4-2．在等差数列中,,其前项和为,则.

变式4-3．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为.

考点五：两个等差数列前n项和的比值

例5．若两个等差数列的前项和分别为，满足，则（????）

A． B． C． D．

变式5-1．等差数列的前项和分别为和，若，则（????）

A． B． C． D．

变式5-2．等差数列，的前项和分别为，，且，则；若的值为正整数，则．

变式5-3．设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则．

考点六：奇数项和偶数项的和

例6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（????）

A． B． C． D．

变式6-1．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为；项数为．

变式6-2．已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是．

变式6-3．若项数为奇数的等差数列的所有项和为190，且奇数项和比偶数项和多10，则数列的项数为．

考点七：含绝对值的等差数列前n项和

例7．已知为等差数列,,.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

变式7-1．在等差数列中，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求．

变式7-2．已知数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式

(2)若，求的前项和.

变式7-3．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

考点八：前n项和的最值

例8．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（???）

A．5 B．9 C．10 D．11

变式8-1．已知数列是等差数列，且．

(1)求的通项公式；

(2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．