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《代数学》辅导纲要

第一章代数运算与自然数

主要内容：

1、集合与映射的概念

2、映射及其运算

3、代数系统

4、自然数及其他相关定义

5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握

1、由A→B的单映射σ的定义为：设 :A

B,若由a1

A,a2

A,a1

a2，就推

出（a1) (a2)，则称 为从A到B的单映射。

2、由A→B的满映射σ的定义为：设 :A

B,若ran()

B，则称 为从A到B

的满映射。

3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象

4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。

5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。

6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a

1 a②：a

b (a

b).

7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为:①：a1 a;②：a b a b a

8、自然数ab的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为ab或ba.

9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)1 M;(2)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.

10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。

11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为nm。

12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：|

A||A|。

13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。

14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。

15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。

16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。

可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与(1)n有关的映射

17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。可考虑分段映射

18、代数系统(R,)与代数系统(R,+)是同构的，其中R表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。

根据同构定义，只需找到一个从(R,)到(R,+)的一一映射，例如lgx就

可以证明上述论述。

19、令Q为正有理数集合，若规定a b

a b，ab 则：

2

{Q, }构成代数体系，但不满足结合律。

{Q,}不构成代数体系，但满足结合律。

根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。

20、若在实数集合中规定a满足结合律。

b=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，则

只需证明等式（a

b） c=a

(b c)成立

21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。

归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,2n都成立，

假设命题对n=k成立，令S

a1 a2

...

ak,S

a1 a2

...

ak1

，利用

k k k1 k 1

Sk1k1 a1a

S

k1

...ak1

证之成立

第二章不等式

主要内容：

1、一些初等不等式的证明

2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明

3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用

4、凸函数的性质与应用重点掌握：

1、a1 a2 ann

等号成立的条件为：a1

a2 ... an

n n n

2 2 2

a1 a2 an

2、柯西不等式(

1

aibi)

( ai)(

1 1

bi)等号成立的条件为：

b1

b

...

b2 bn

3 、 f(x) 为 上 凸 函 数 的 定 义 为 ： 对 任 意 的

x1,x2

有:f(q1x1

q2x2)

q1f(x1)

q2f(x2),其中q1

0,q2

0,q1q2

1，则称f(x)为

上凸函数。

4、f(x)=x0..3（x0），g(x)=sinx（0x ），k(x)=㏑x中，上凸函数为：f(x)=x0..3，g(x)=sinx,k(x)=㏑（x）

5、f(x)=xk（其中x0），则当0k1时，f(x)为下凸函数。6、y=lgx则y是上凸函数.

k

1 17、函数f1(x) sinx（其中0x ）和f=㏑x为上凸函数，