2025年高考数学二轮复习专题02 一元二次函数、方程和不等式（基本不等式+恒（能）成立问题）（7大考点）（原卷版）.docx

专题02一元二次函数、方程和不等式

考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

【考点1】基本不等式辨析及其应用

【考点2】由一元二次不等式的解确定参数

【考点3】讨论含参一元二次不等式的解

【考点4】基本不等式的恒成立问题

【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法）

【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题

【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题

知识点1：基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

知识点四：三个正数的基本不等式

如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）

知识点2：四个二次的关系

2.1一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

题型归纳

【考点1】基本不等式辨析及其应用

1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．（多选）（2025·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

3．（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（????）

A．有最大值为 B．有最小值为

C．有最小值为 D．有最大值为

4．（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（????）

A． B．

C． D．

5．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为.

【考点2】由一元二次不等式的解确定参数

1．（多选）（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（???）

A． B．

C． D．

2．（多选）（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（???）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为或x12

3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（????）

A．

B．

C．

D．不等式的解集是或

4．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是．

【考点3】讨论含参一元二次不等式的解

1．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设函数.

（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；

（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；

（3）解关于的不等式：.

2．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题.

已知函数.

(1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围；

(2)当时，求关于的不等式的解集.

3．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根．

（1）求函数的值域；

（2）设常数，解关于x的不等式：

【考点4】基本不等式的恒成立问题

1．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（????）

A．9 B．12 C．16 D．25

3．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围.

4．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为．

【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法）

1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A． B．

C． D．

2．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（????）

A． B． C． D．

3．（多选）（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（?????）

A． B．0 C． D．1

4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是.

【考点6】分离变量