2025年高考数学二轮复习专题02 一元二次函数、方程和不等式（基本不等式+恒（能）成立问题）（7大考点）（解析版）.docx

专题02一元二次函数、方程和不等式

考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢

重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺

难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升

提升专练：真题感知+精选专练，全面突破

【考点1】基本不等式辨析及其应用

【考点2】由一元二次不等式的解确定参数

【考点3】讨论含参一元二次不等式的解

【考点4】基本不等式的恒成立问题

【考点5】一元二次函数在上的恒（能）成立问题（法）

【考点6】分离变量法解决恒（能）成立问题

【考点7】最值定位法解决双变量能成立问题

知识点1：基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

知识点四：三个正数的基本不等式

如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）

知识点2：四个二次的关系

2.1一元二次函数的零点

一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．

2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

题型归纳

【考点1】基本不等式辨析及其应用

1．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值

【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.

【详解】对A，当时，则，故A错误；

对B，当时，则，则，故B错误；

对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误；

对D，若，则，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：D.

2．（多选）（2025·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.

【详解】对于A：当时，，故A错误；

对于B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；

对于C：令，则，，当且仅当时取等号，而，故C正确；

对于D：由，故，

当且仅当，即时取等号，故D正确.

故选：BCD

3．（多选）（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（????）

A．有最大值为 B．有最小值为

C．有最小值为 D．有最大值为

【答案】ABC

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值

【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.

【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，

对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，

对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，

对于D：因为，

当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，

故选：ABC．

4．（多选）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【知识点】指数幂的运算、比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值

【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D．

【详解】由题意，得，，，

对于A，，故A正确；

对于B，取，，则，故B错误；

对于C，取，，则，故C错误；

对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．

故选：AD

5．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为.

【答案】

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用重要不等式计算可得.

【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，

即的最小值为.

故答案为：

【考点2】由一元二次不等式的解确定参数

1．（多选）（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由基本不等式证明不等关系

【分析】由韦达定理得出的关系：，判断AB，把用表示代入化简判断C，作差法判断D．

【详解】由题意可得和为方程的两根，

且，所以，即，，故A错误；

又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确；

而

，故C正确；

因为，且，

所以，即，故D正确.

故选：BCD.

2．（多选）（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的