2025年高考数学第17讲 杨辉三角的性质与应用（思维导图+3知识点+三大考点+过关检测）（原卷版）.docx

第17讲杨辉三角的性质与应用

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

【考点一：观察杨辉三角数字规律】

【考点二：杨辉三角与二项式系数】

【考点三：杨辉三角与组合数的性质】

模块四小试牛刀过关测

1.了解杨辉三角的数字规律，掌握它与二项式系数之间的关系

一、杨辉三角

当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式：

(a＋b)1………………11

(a＋b)2……………121

(a＋b)3…………1331

(a＋b)4………14641

(a＋b)5……15101051

(a＋b)6…1615201561

……上表称为“杨辉三角”.

从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：

（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；

（2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.

二、二项式系数的性质

①各二项式系数和：；

②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

三、杨辉三角至少具有以下性质

①每一行都是对称的，且两端的数都是1

②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．

③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．

(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．

【考点一：观察杨辉三角数字规律】

一、单选题

1．（24-25高二上·全国·课堂例题）观察图中的数所成的规律，则所表示的数是（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高二下·北京朝阳·期末）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：

则第8行的第7个数是（????）

A．8 B．21 C．28 D．56

3．（23-24高二下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（????）

A． B．

C． D．

【考点二：杨辉三角与二项式系数】

一、单选题

1．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（????）

A．120 B．210 C．84 D．36

2．（22-23高二下·广东珠海·期末）在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（????）

A．15 B．16 C．17 D．18

3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（????）

??

A．252 B．426 C．462 D．924

4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

??

若在的展开式中，的系数为75，则实数a的值为（????）

A．1 B． C．2 D．

5．（2024高一上·浙江·阶段练习）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第行的各数之和比上一行各数之和大64，则的值为（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

6．（22-23高二下·湖南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（????）

A．

B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等

C．记第n行的第i个数为，则

D．第30行中第12个数与第13个数之比为

【考点三：杨辉三角与组合数的性质】

一、单选题

1．（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜