超几何分布高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

6.4.2超几何分布

回顾：

1.什么是n重伯努利试验？

1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.

2.能用超几何分布解决简单的实际问题.

已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列.

已知在10件产品中有4件次品，故X的可能取值为

0，1，2，3.

当X=0时，表示“任取的3件产品中不含次品”，即从4件次品中取出0件，再从6件正品中取出3件，取法：

当X=1时，表示“任取的3件产品中恰有1件次品”，即从4件次品中取出1件，再从6件正品中取出2件，取法：

同理，可得

当X=k(k=0，1，2，3)时，表示“任取的3件产品中恰有k件次品”，即从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出(3-k)件，取法：

因此随机变量X的分布列如表：

k

0

1

2

3

P(X=k)

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N+.

公式中的k可以取的最小值为max{0，n-(N-M)}，而不一定是0.例如，有100件产品，其中有20件次品，从中任取85件产品，此时，至少要取到5件次品，而不是0件.

注意：

(1)超几何分布的特点：不放回抽样.

(2)超几何分布的实质是古典概型.

若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布.

问题：判断下列随机事件中的随机变量X是否服从超几何分布并说明理由.

①抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X.

②有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X.

③盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X.

④某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X.

①②中样本没有分类，不是超几何分布，属于重复试验问题.

③④符合超几何分布的特征，样本进行分类，随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数．

超几何分布的特征：

1.总体含有两类物品；

2.抽取是不放回抽取；

3.共有三个参数{N，n，M}.

例1:袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；

因此X的分布列为

X

0

1

2

3

P

(2)若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取3个，因此黑球Y服从参数为10，3，2的超几何分布，

X

0

1

2

P

例1:袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(2)若每次出去后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.

因此，Y的分布列为

求超几何分布列的步骤

(1)验证随机变量是否服从超几何分布，并确定参数N，M，n；

(2)确定X的所有可能取值；

(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);

(4)写出分布列.

超几何分布

二项分布

试验类型

抽样

抽样

试验种数

有种物品

有种结果

总体个数

个

个

随机变量取值的概率

利用计算

利用计算

联系

当时，超几何分布二项分布

不放回

放回

两

两

有限

无限

古典概型

独立重复试验

总体N很大

近似

超几何分布与二项分布的联系与区别：

例2:一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．

(1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率．

(2)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．

X

0

1

2

P

思考：计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与N，M，n有关系吗？说说你的猜想并证明.

一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为

A

D

3.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为____，EX＝___.

3

根据本节课所学回答下列问题：

1.超几何分布X~H(N，n，M)中各参数表示什么意义？

2.求超几何分布列的步骤是什么？

3.二项分布和超几何分布有什么