高一数学讲义（人教A版2019）543正切函数的性质与图象（十一大题型）.docx

5．4．3正切函数的性质与图象

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 2

【思维导图】 2

【知识点梳理】 2

【典型例题】 4

题型一：正切函数的定义域问题 4

题型二：正切函数的对称性问题 6

题型三：正切函数的周期性问题 8

题型四：正切函数的单调性问题 10

题型五：正切函数的最值与值域问题 13

题型六：正切函数的奇偶性问题 15

题型七：正切函数的图像问题 17

题型八：解不等式问题 21

题型九：比较大小问题 23

题型十：正切函数的综合问题 26

题型十一：根据正切函数单调性求参数的范围问题 30

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一：正切函数的图象

1、正切函数，且，图象：

知识点二：正切函数的性质

1、定义域：

2、值域：

由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．

3、周期性：周期函数，最小正周期是

4、奇偶性：奇函数，即．

5、单调性：在开区间，内，函数单调递增

知识点诠释：

1、观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴

2、正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．

知识点三、正切函数型的性质

1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．

2、值域：

3、单调区间：

（1）把“”视为一个“整体”；

（2）时，函数单调性与的相同（反）；

（3）解不等式，得出范围．

4、周期：

【典型例题】

题型一：正切函数的定义域问题

【典例11】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由正切函数的定义域，令，即，

所以函数的定义域为.

故选：C.

【典例12】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）函数的定义域为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据正切函数的性质，可得函数有意义，则满足，

所以函数的定义域为.

故选：C.

【方法技巧与总结】

求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集．

【变式11】（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是()

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，

即，

所以，，

所以，，故B项正确.

故选:B.

【变式12】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．或且

【答案】C

【解析】由已知可得且，

解得且，

所以函数的定义域是.

故选：C.

【变式13】（2024·高一·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：，解得，

函数的定义域为.

故选：A.

题型二：正切函数的对称性问题

【典例21】（2024·高一·山东潍坊·期末）函数的图象关于点中心对称，则常数的一个取值为.

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【解析】因为的图象关于点中心对称，

所以，解得，

故答案为：（答案不唯一，满足即可）

【典例22】（2024·高一·山东威海·阶段练习）已知函数，的图象的对称中心是．

【答案】

【解析】由函数可得，，解得：，

即的图象的对称中心是.

故答案为：.

【方法技巧与总结】

正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

【变式21】（2024·高一·陕西·阶段练习）已知函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则．

【答案】2

【解析】由题意可得，即，则.

故答案为：2.

【变式22】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数图象的一个对称中心为，则的值为．

【答案】或

【解析】由，得．又，则或．

故答案为：或．

【变式23】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为．

【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合）

【解析】根据，得，则，

令，即，

所以．

故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）

【变式24】（2024·高一·全国·课后作业）已知，若函数为奇函数，则最小正数m的值为.

【答案】

【解析】因为，若函数为奇函数，且正数m取到最小值，

即把位于y轴右侧的第一个对称中心平移至坐标原点，

令，解得，

当时，则，

即位于y轴右侧的第一个对称中心为，

所以正数m取到最小值.

故答