压电材料的变分原理与有限元方法.ppt

大多数已公布的压电材料的[e]矩阵数据都是基于IEEE标准按照x,y,z,yz,xz,xy的顺序，而ANSYS的输入数据是按照x,y,z,xy,yz,xz的顺序。也就是说，输入该参数时必须通过改变剪切项的行数据以转换到ANSYS数据格式。01Ansys中e矩阵的输入02刚度矩阵和柔度矩阵的输入与其它材料相同。7.1ANSYS中PLANE13单元ANSYS中PLANE13单元为4节点四边形单元，每个节点最多有4个自由度，该单元也可以退化为3节点三角形单元。在用于纯结构分析时，具有大变形和应力刚度能力。当PLANE13单元用于模拟压电传感器/致动器时，在非退化状态下该单元为具有12个自由度的四边形单元，每个节点包含两个位移(x方向和y方向)自由度和一个压电自由度，单元形状和节点信息如下图所示PLANE13单元7.1ANSYS中PLANE13单元单元节点位移向量为：ANSYS中PLANE13单元将单元内部任意点的位移和电压用节点位移向量表示为：SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAASchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAASchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA压电材料的变分原理

和有限元分析方法压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢迎。当将压电材料应用到结构中时，由于结构形式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境的复杂性，解析解会遇到不可克服的困难，因而大多数情况需要采用数值的方法来分析结构和解决问题。变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和方程提供了依据。121前言压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，基本方程及条件如下。运动方程01若不存在自由电荷则等式子于零03电学方程022基本方程本构方程(3)力学耦合方程电学耦合方程或或几何方程(5)变形方程电场方程01边界条件力学边界条件02电学边界条件03在Sσ上04在Su上05在Sq上06在Sv上动能01应变能02电势能033力电耦合系统的能量泛函外力功01外电荷功符合说明：Ve、Vp和V=Ve+Vp分别为弹性材料体积、压电材料体积和总体积。0201由Hamilton原理，系统广义泛函为：02将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能量泛函为：5系统广义泛函能量泛函写成矩阵形式有：上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动微分方程的变分形式方程。6有限元方法有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术.这一解法基于完全消除微分方程,即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形);或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近,这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法,龙格-库塔方法等)求解.有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究.它的发展可以追溯到AlexanderHrennikoff(1941)和RichardCourant(1942)的工作.这些先驱者使用的方法具有很大的差异,但是他们具有共同的本质特征:利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域,通常叫做元.Hrennikoff的工作离散用类似于格子的网格离散区域;Courant的方法将区域分解为有限个三角形的子区域,用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程.Courant的贡献推动了有限元的发展,绘制了早期偏微分方程的研究结果.从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。压电材料的线性本构方程为：用矩阵形式表示为：6.1本构方程6.2有限元列式(四面体单元为例)对于每一个单元，机械应变可以表示为：又，位移u、v、w可以用单元节点位移和形函数表示：从而可得：上式用矩阵形式表示为：Bu为包含形函数微分的矩阵：对于每个单元的x、y、z方向的位移向量表示为：同样对于每个单元，电场向量可以表示为为：01又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：02从而：上式用矩阵形式表示为：Bφ为包含形函数微分的矩阵：由压电材料的虚功原理：由前面有：又：将上两式代