第16讲 多边形与平行四边形（解析版）.docx

第五章四边形

第16讲多边形与平行四边形

考纲要求

命题趋势

1．了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明．

2．掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．

3．了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌.

中考命题多以选择题、填空题和解答题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力.

一、多边形的有关概念及性质

1．多边形的概念

定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

2．性质

n边形过一个顶点的对角线有（n-3）条，共有1/2·n（n-3）条对角线；n边形的内角和为180°（n-2），外角和为360°.

二、平面图形的密铺（镶嵌）

1．密铺的定义

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．

2．平面图形的密铺

正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺平面．

三、平行四边形的定义和性质

1．定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2．性质

（1）平行四边形的对边相等．

（2）平行四边形的对角相等．

（3）平行四边形的对角线互相平分．

（4）平行四边形是中心对称图形．

四、平行四边形的判定

1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

4．对角线相互平分的四边形是平行四边形．

5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

1．正八边形的每个内角为（B）

A．120°B．135°C．140°D．144°

【分析】根据多边形的外角和等于360°，求出正八边形的外角度数，进而求出．

【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，

∴正八边形的外角度数为：360°÷8＝45°，

∴正八边形的内角度数为：180°﹣45°＝135°．

故选：B．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形的外角和等于360．

2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为（B）

A．2B．3C．4D．6

【分析】根据正六边形的每个内角是120°，结合镶嵌的条件即可求出答案．

【解答】解：因为正六边形的每个内角是120°，所以每个顶点处正六边形的个数为360°÷120°＝3．故选B．

【点评】解决本题的关键是理解组成镶嵌的每一个顶点处的正多边形的个数＝360°÷一个内角度数．

3．已知ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝（B）

A．4B．12C．24D．28

【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，根据2（AB+BC）＝32，即可求出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，

∵平行四边形ABCD的周长是32，

∴2（AB+BC）＝32，

∴BC＝12．

故选：B．

【点评】题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．

4．下列四个命题：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；

④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；

【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；

③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；

④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，

故选：B．

【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的判定，正方形、菱形、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5．已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab﹣ac﹣bc=0，b2+bc﹣bd﹣cd=0，那么四边形ABCD一定是（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【分析】由a2+ab﹣ac﹣bc＝0分解因式，可得到（a+b）（a﹣c）＝0，得a＝c，再由b