2024-2025学年上海交通大学附属中学高二上学期12月月考数学试卷含详解.docx

交大附中高二月考数学试卷

一．填空题

1．设集合,,则．

2．已知平面向量,,则在方向上的投影向量为．

3．若,则的虚部是.

4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则.

5．已知圆锥的底面半径为,母线长为,则该圆锥的侧面积为．

6．在等差数列中,,则．

7．已知是偶函数,则．

8．已知,,则．

9．过点作圆的切线,则切线的一般式方程为．

10．已知双曲线,若双曲线的一条弦的中点为,则这条弦所在直线的斜率为．

11．如图,在等边中,,点为边上的一动点,则的最小值为．

??

12．已知函数在上的值域为,则实数的取值范围是．

13．记等比数列的前项和为,若,下列四个命题：①是递减数列,②有最大项,③是递增数列,④有最小项．其中真命题的序号是．

14．长为,宽为1的矩形,以它的对角线所在直线为轴旋转一周,得到的旋转体的体积为．

15．已知正四面体中,是棱上一点,过作平面,满足,,若,到平面的距离分别是3和9,则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为．

16．已知三个平面,,,任意两个平面所成的锐二面角的大小都是,则锐角的取值范围是．

二．选择题

17．已知,,,,则是的（????）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

18．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时,（,常数）．利用以上公式,可以估算的值为（????）

A． B． C． D．

19．在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为（????）

A． B． C． D．

20．平面直角坐标系中,点是圆上的一个定点,点是圆上的一个定点,若矩形的顶点,都在曲线上,则满足条件的矩形（????）

A．存在无穷多个 B．存在有限个 C．存在唯一一个 D．可能不存在

三．解答题

21．如图,已知圆台下底面圆的直径为,是圆上异于,的点,是圆台上底面圆上的点,且平面平面,,,,分别是,的中点.

(1)证明：平面.

(2)若直线上平面且过点,试问直线上是否存在点,使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在,求出点的所有可能位置,若不存在,请说明理由.

22．在平面直角坐标系中,为坐标原点,,,,,点在线段上,点在线段上,且,设直线与交于点．

(1)当变化时,点始终在某个椭圆上运动,求出椭圆的方程.

(2)过点作直线与椭圆交于,不同的两点,再过点F1,0作直线的平行线与椭圆交于,不同的两点.

①证明：为定值.

②求面积的取值范围.

1．

【分析】先利用一元二次不等式求出集合,再根据交集的定义求解即可.

【详解】由或,又.

则.

故答案为：.

2．

【分析】利用投影向量的意义求解即可.

【详解】平面向量,.

则.

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：

3．

【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】因为.

所以,虚部为.

故答案为：

4．

【分析】先求出抛物线焦点位置,进而确定椭圆焦点位置,后用椭圆基本量的关系求解即可.

【详解】易知在中,,焦点为.

故椭圆的焦点在轴上,故,解得.

故答案为：

5．

【分析】利用圆锥的侧面积公式求解.

【详解】解：因为圆锥的底面半径为,母线长为.

所以圆锥的侧面积为.

故答案为：

6．6

【分析】根据给定条件,利用等差数列性质计算即得.

【详解】在等差数列中,,解得.

所以.

故答案为：6

7．

【分析】利用偶函数的定义直接列式求解即可.

【详解】因为为偶函数.

所以.

所以,所以恒成立,即恒成立.

又,所以,解得,经检验满足题意.

故答案为：

8．##

【分析】先根据给定条件解方程求得,再利用同角三角函数基本公式计算即得.

【详解】因为,所以或.

因为,所以且.

所以.

故答案为：.

9．

【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率,进而求出切线方程.

【详解】因为,所以点在圆上,而圆心.

直线的斜率,因此圆C在点处切线斜率为.

所以所求切线方程为,即.

故答案为：

10．

【分析】运用点差法,结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.

【详解】设该弦为,设Ax1

则有,两式相减,得.

因为双曲线C的一条弦的中点为.

所以.

因此由.

即这条弦所在直线的斜率为,方程为.

代入双曲线方程中,得.

因为.

所以该弦存在.

故答案为：.

11．

【分析】取线段的中点,推导出,建立平面直角坐标系,设点,利用平面向量数量积的坐标运算,结合二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】取线段的中点,连接,因为为等边三角形,则.

以点为坐标原点,,所在直线分别为,轴建立如下图所示的平面直角坐