19.2.3一次函数与方程、不定式教案2024-2025学年人教版数学八年级下册.docx

课程基本信息

课题

第十九章一次函数

19.2一次函数

19.2.3一次函数与方程、不等式

教材

人教版八年级下册

教学目标

1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)之间的关系，根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题，培养抽象能力和应用能力

2.通过学习理解一次函数与方程、不等式的关系，发展运算能力和推理应用意识，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验

3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体辩证统一关系，体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心

教学重点

理解一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系

教学难点

根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题

教学过程

一、导入新课

问题:

(1)解方程：5x+10=0

(2)当自变量x为何值时，函数y=5x+10的值为0?

这两个问题有什么联系呢?

其实，这两个问题在本质上是一样的问题，这就展示了方程与函数的关系今天我们就来探究一下函数与方程及不等式之间的关系。

设计意图：从问题引入，把学生的注意力吸引至课堂，初步建立方程与函数之间的关系，让学生带着问题学习本课，激发学生的探索欲望

二、探究新知

知识点一：一次函数与一元一次方程

问题：下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?

(1)2x+1=3

(2)2x+1=0

(3)2x+1=-1

师生活动：学生独立思考问题，画出一次函数y=2x+1图象，相互交流观察与思考的结果，教师巡视，对学生出现的问题给予帮助，师生共同归纳，这3个方程的等号左边都是2x+1，等号右边分别是3，0，-1

从函数值的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值

从函数图象的角度看，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少

问题：你能把得到的结论推广到一般情况吗?

一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)的解就是当函数y=ax+b的函数值为c时的自变量x的值

如：求4x+5=9的解相当于求一次函数y=4x+5的函数值为9时，自变量的值

归纳：我们知道任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a≠0)的形式，所以

(1)从函数值的角度看，求方程ax+b=0(a≠0)的解相当于求一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，相应的自变量x的值

(2)从函数图象的角度看，求方程ax+b=0(a≠0)的解相当于求直线y=ax+b(a≠0)与x轴的交点的横坐标

设计意图：通过观察三个方程的异同点，引出一元一次方程与一次函数关系的探究。学生通过观察和画图，直观地发现一次函数与一元一次方程之间的联系，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合的思想，逐步学会从特殊到般的归纳概括能力

知识点二：一次函数与一元一次不等式

问题：下面3个不等式有什么共同点和不同点?类比一次函数和一元一次方程的关系，你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?

(1)3x+22

(2)3x+20

(3)3x+2-1

师生活动：教师引导学生类比一次函数和一元一次方程的关系，试着用函数观点看一元一次不等式。学生观察、思考、比较上面的三个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求对应的自变量的取值范围，或者说在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标的取值范围

问题：你能把得到的结论推广到一般情况吗?

解不等式ax+bc(或ax+bc)(a≠0)就是求函数y=ax+b的函数值大于c(或小于c)时，对应自变量的取值范围

如：求4x+59的解集相当于求一次函数y=4x+5的函数值小于9时，自变量x的取值范围

师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨

归纳：因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b0或ax+b0(a≠0)的形式，所以

(1)从函数的角度看，就是求一次函数y=ax+b的函数值大于(或小于)0时自变量x的取值范围

(2)从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上(或下)方部分的自变量x的取值范围

设计意图：类比研究一次函数和一元一次方程的方法，用函数观点看一次函数和一元一次不等式，引导学生从“数”与“形”两个方面进行分析，增强学生的直观感受度，让学生从变化与对应的观点去考虑解决问题，提高学生归纳概括知识的能力

知识点三：一次函数与二元一次方程组

1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/