2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题18圆锥曲线的综合问题教学案文含解析.docVIP

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圆锥曲线的综合问题

【2024年高考考纲解读】

1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探究性问题.

2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类探讨等多种思想方法，对计算实力也有较高要求，难度较大．

【重点、难点剖析】

一、范围、最值问题

圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．

(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．

【解析】解法一(1)设点M(x，y)，由2eq\o(MQ,\s\up10(→))＝eq\o(AQ,\s\up10(→))，得A(x,2y)，

由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，

即动点M的轨迹E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.

(2)由(1)知，E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，

因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，

所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，

设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－eq\f(8k,1＋4k2)，

|BP|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(8|k|,1＋4k2)eq\r(1＋k2).

由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满意|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，

记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，

则|BT|＝eq\f(8|k1|,1＋4k\o\al(2,1))eq\r(1＋k\o\al(2,1))，

故eq\f(8|k1|,1＋4k\o\al(2,1))eq\r(1＋k\o\al(2,1))＝eq\f(8|k|,1＋4k2)eq\r(1＋k2)，所以eq\f(\r(k\o\al(2,1)＋k\o\al(4,1)),1＋4k\o\al(2,1))－eq\f(\r(k2＋k4),1＋4k2)＝0，

即(1＋4k2)eq\r(k\o\al(2,1)＋k\o\al(4,1))＝(1＋4keq\o\al(2,1))eq\r(k2＋k4)，

所以(k2－keq\o\al(2,1))(1＋k2＋keq\o\al(2,1)－8k2keq\o\al(2,1))＝0，

由于k1≠k，因此1＋k2＋keq\o\al(2,1)－8k2keq\o\al(2,1)＝0，

故k2＝eq\f(k\o\al(2,1)＋1,8k\o\al(2,1)－1)＝eq\f(1,8)＋eq\f(9,8?8k\o\al(2,1)－1?).

因为k2＞0，所以8keq\o\al(2,1)－1＞0，所以k2＝eq\f(1,8)＋eq\f(9,8?8k\o\al(2,1)－1?)＞eq\f(1,8).

又k＞0，所以k＞eq\f(\r(2),4).

又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，

所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠eq\f(\r(2),2)，

所以k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).

依据椭圆的对称性，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),4)))也满意题意．

综上所述，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)).

解法二(1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．

因为2eq\o(MQ,\s\up10(→))＝eq\o(AQ,\s\up10(→