预习12 数列基础（九大考点）（解析版）.docx

预习12数列基础

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特征；

2．根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并理解通项公式的含义；

3．通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规律；

4．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养

知识点一、数列的概念与表示

1.数列的概念

（1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

（2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项.

（3）分类:

若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列

2.数列的表示方法

（1）一般形式:数列的一般形式是简记为.

（2）其他方法:解析式法、表格法、图象法.

3.数列的通项公式

（1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

（2）数列与函数的区别和联系：

数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点；

函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线.

4.数列的单调性

与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值.

类别

含义

递增数列

从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列

递减数列

从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列

常数列

各项都相等的数列

知识点二、数列的递推公式

1.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

数列的递推公式与其通项公式的异同：

相同点

不同点

通项公式

均可确定一个数列,求出数列中的任意一项

给出n的值,可求出数列中的第n项

递推公式

由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项

2.数列的前n项和

（1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即.

（2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

3.与的关系式：

①当时，若适合，则的情况可并入时的通项；

②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.

考点一：数列的概念及分类

例1．下列结论中，正确的是（???）

A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数

B．数列的项数一定是无限的

C．数列的通项公式的形式是唯一的

D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式

【答案】A

【详解】对于A，由数列定义知，A正确；

对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；

对于C，数列的通项公式可以为，

也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；

对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.

故选：A

变式1-1．数列的通项公式是，，则它的图象是（????）

A．直线 B．直线上孤立的点

C．抛物线 D．抛物线上孤立的点

【答案】B

【详解】数列对应点为，

所以图象是直线上孤立的点.

故选：B

变式1-2．（多选）下列说法中，不正确的是（???）

A．数列可表示为

B．数列与数列是相同的数列

C．数列的项可以相等

D．数列和数列一定不是同一数列

【答案】ABD

【详解】对于A，不表示数列，故A错误；

对于B，数列具有有序性，故B错误；

对于C，数列的项可以相等，故C正确；

对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误.

故选：ABD.

变式1-3．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．

(1)是有穷数列；

(2)所有自然数能构成数列；

(3)，，1，，5，7，，11是一个项数为8的数列．

【答案】(1)错误，理由见解析

(2)正确，理由见解析

(3)错误，理由见解析

【详解】（1）错误．是集合，不是数列．

（2）正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．

（3）错误．当，代表数时为项数为8的数列；

当，中有一个不代表数时，便不是数列，

这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成．

考点二：根据规律求数列的项

例2．已知数列，则是它的（????）

A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项

【答案】C

【详解】数列，即数列的通项公式是，

令，所以是它的第13项.

故选：C.

变式2-1．数列的第100项是（????）

A．2 B．10 C． D．

【答案】A

【详解】由数列