2025年高考数学重难点第08讲 复数的四则运算（解析版）.docx

第08讲复数的四则运算

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则

2．掌握复数代数形式的乘法和除法运算

3．逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律

知识点1复数代数形式的加法运算及其几何意义

（1）复数的加法法则

设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

（2）复数加法满足的运算律

对任意，有

交换律：

结合律：

（3）复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：

，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.

知识点2复数代数形式的减法运算及其几何意义

（1）复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

（2）复数减法的几何意义

复数 向量

知识点3()的几何意义

在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.

知识点4复数代数形式的乘法运算

（1）复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设,是任意两个复数，那么它们的乘积为

，

即

（2）复数乘法满足的运算律

复数乘法的交换律、结合律、分配律

(交换律)

(结合律)

(分配律)

知识点5复数代数形式的乘方

（1）复数的乘方

复数的乘方就是相同复数的乘积

（2）复数乘方的运算律

根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：

①

②

③

知识点03：共轭复数的性质

设，（）

①；②为实数；③且为纯虚数

④；⑤，，

知识点6复数代数形式的除法运算

（1）定义

规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或

（2）复数的除法法则

（）

由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.

考点一：复数加，减运算

例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】（1）利用复数的四则运算法则求解即可.

（2）利用复数的四则运算法则求解即可.

（3）利用复数的四则运算法则求解即可.

【详解】（1）

.

（2）

.

（3）

.

【变式1-1】（2024高一下·全国·专题练习）计算：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）；

（2）；

（3）.

【变式1-2】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：

(1)；

(2)；

(3)..．

【答案】(1)

(2)

(3)

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】根据题意由复数的加减法运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）原式

（2）原式

（3）原式

【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）计算：

(1)??；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算

【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可.

【详解】（1）；

（2）；

（3）

；

（4）

.

考点二：根据复数加、减运算结果求参数

例2.（23-24高一下·全国·课后作业）已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝，y＝.

【答案】611

【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数、根据相等条件求参数

【分析】利用复数的加减运算以及复数相等的概念计算求解.

【详解】因为(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，

所以x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，

∴，解得.

故答案为：6，11.

【变式2-1】（23-24高一下·山东·阶段练习）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数

【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可

【详解】由，得：，解得：.

故选：A

【变式2-2】（多选）（2024·福建漳州·一模）若，