2025年高考数学二轮复习专题10 正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题（讲义）（解析版）.docx

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专题10正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 17

题型一：倍长定比分线模型 17

题型二：倍角定理与正弦平方差 21

题型三：角平分线模型与张角定理 26

题型四：隐圆问题 32

题型五：正切比值与和差问题 36

题型六：四边形定值和最值与托勒密定理 39

题型七：边角特殊，构建坐标系 44

题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 48

题型九：三角形的形状判定 53

题型十：三角形中的几何计算 57

题型十一：中线长定理与余弦和为0 64

重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 71

解三角形问题作为每年高考数学中的必考内容，其考查频率颇高，尤其在选择题和填空题中占据重要地位。有时，它甚至以压轴小题的形式出现，挑战考生的思维极限。在综合考查方面，解三角形问题也常作为解答题的重点，难度适中，旨在全面检验考生的数学素养和解题能力。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

正弦定理

掌握定理应用，解决三角问题

2024年II卷第15题，13分

2023年北京卷第7题，4分

2023年乙卷第4题，5分

2022年II卷第18题，12分

2025年高考数学中，解三角形问题预计仍将是考查的重点。考试将着重测试考生利用正弦定理处理三角形边角关系，以及运用正余弦定理解析平面图形边、角与面积的能力。题型上将涵盖选择、填空和解答题，其中解答题预计将占据较大比例，且多被安排在前两题位置，难度适中，属于中档题。而选择题和填空题则可能作为基础题或中档题出现，也不排除成为压轴题的可能。考生需熟练掌握相关知识，以应对多样化的题型挑战。

余弦定理

理解定理推导，应用解三角形题

2024年I卷第15题，13分

2024年甲卷第11题，5分

2022年乙卷第17题，12分

2021年乙卷第15题，5分

2021年浙江卷第14题，6分

三角形的几何计算

掌握定理，解决几何计算问题

2023年甲卷第16题，5分

2023年II卷第17题，10分

2022年天津卷第16题，15分

2021年乙卷第9题，5分

范围与最值问题

熟练方法，准确求解

2022年上海卷第19题，14分

2022年甲卷第16题，5分

2022年I卷第18题，12分

1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．

2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．

3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．

4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．

5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．

6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．

7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．

1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，则由正弦定理得.

由余弦定理可得:，

即:，根据正弦定理得，

所以，

因为为三角形内角，则，则.

故选：C.

2．（2024年北京高考数学真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．

(1)求；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】（1）由题意得，因为为钝角，

则，则，则，解得，

因为为钝角，则.

（2）选