高三复习第一讲-数列的概念与简单表示法.docVIP

第五章数列

第一讲数列的概念与简单表示法

【考纲速读吧】

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图象、通项公式〕．

2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．

【要点集结号】

1个重要关系

数列是一种特殊的函数，在研究函数问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

2点必记特殊

1．对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．

2．求数列最大项的方法：

①判断{an}的单调性，②解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1,ak≥ak＋1))．求数列最小项依此类推．

3种必会方法

1．叠加法：对于an＋1－an＝f〔n〕型，假设f〔1〕＋f〔2〕＋…＋f〔n〕的和是可求的，可用多式相加法求得an．

2．叠乘法：对于eq\f(an＋1,an)＝f〔n〕型，假设f〔1〕·f〔2〕·…·f〔n〕的积是可求的，可用多项式相乘法求得an．

3．构造法：对an＋1＝pan＋q型，构造等比数列，求得an．

【课前自主导学】01

1．数列的定义、分类与通项公式

〔1〕数列的定义：按照________________叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫________．

〔2〕数列的分类

分类原那么

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数______

无穷数列

项数______

按项与项间的大小关系分类

递增数列

an＋1____an

其中n∈N*

递减数列

an＋1____an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

〔3〕通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的________，即an＝f〔n〕．

判一判

判断以下说法是否正确．

〔1〕1,4,2，eq\f(1,3)，eq\r(5)不是数列〔〕

〔2〕数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}〔〕

〔3〕数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列〔〕

〔4〕数列{eq\f(n＋1,n)}的第k项为1＋eq\f(1,k)〔〕

〔5〕数列0,2,4,6，…可记为{2n}〔〕

想一想

数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？

填一填

观察数列的特点，用适当的数填空．

〔1〕eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，〔________〕，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…

〔2〕eq\f(\r(5),3)，〔________〕，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…

2．数列的递推公式

如果数列{an}的________〔或________〕，且任何一项an与它的前一项an－1〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f〔an－1〕或an＝f〔an－1，an－2〕，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．

填一填

〔1〕f〔1〕＝3，f〔n＋1〕＝eq\f(f?n?＋1,2)〔n∈N*〕．那么f〔4〕＝________．

〔2〕数列{an}中，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)〔n∈N*〕，且a7＝eq\f(1,2)，那么a5＝________．

〔3〕数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，那么a4＝________．

3．数列的前n项和及与通项的关系

①Sn＝a1＋a2＋…＋an；

②an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?n＝1?,?n≥2?))

填一填

〔1〕Sn为数列{an}的前n项和，假设Sn＝2n－1，那么a5＝________；a3＋a4＋a5＝________．

〔2〕设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，那么an＝________

【自我校对】

1．一定顺序排列着的一列数首项有限项无限项通项公式

判一判：〔1〕×〔2〕×〔3〕×〔4〕√〔5〕×

想一想：提示：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝〔－1〕n或

an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1?n为奇数?,1?n为偶数?))，有的数列没有通项公式．

2．第一项前几项

填一填：〔1〕eq\f(5,4)〔2〕1〔3〕3

3．S1Sn－Sn－1

填一填：〔1〕1628〔2〕eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))

【核心要点研究】02

【考点一】由数列前n项求通项

例1写出下面各