高一数学讲义（人教A版2019）12集合间的基本关系（七大题型）.docx

1．2集合间的基本关系

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 3

【思维导图】 3

【知识点梳理】 3

【典型例题】 4

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 4

题型二：韦恩图及其应用 6

题型三：由集合间的关系求参数的范围 8

题型四：集合间的基本关系 10

题型五：判断两集合是否相等 13

题型六：根据两集合相等求参数 14

题型七：空集的性质 16

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．

记作：

读作：A包含于B（或B包含A）．

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等．

记作：

读作：A等于B．

图示：

知识点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“（或）”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

知识点二．真子集

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集．

记作：A?B（或BA）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

知识点三．空集

不含有任何元素的集合称为空集，记作：．

规定：空集是任何集合的子集．

结论：（1）（类比）

（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

（3）若则（类比，则）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0．

【典型例题】

题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题

【典例11】（2024·江苏南京·三模）集合的子集个数为（????）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【解析】由题意，得,故集合A子集个数为个.

故选：D.

【典例12】（2024·高一·广东梅州·开学考试）集合的真子集的个数是（????）

A．4 B．3 C．8 D．7

【答案】D

【解析】由题可得：，所以集合的真子集个数为；

故选：D

【方法技巧与总结】

（分类讨论是写出所有子集的方法）

1、分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．

2、若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．

【变式11】（1）写出集合的子集和真子集．

（2）写出集合的所有子集和真子集．

（3）写出集合的所有子集和真子集．

【解析】（1）子集：，；真子集：；

（2）子集：，，，；真子集：，，；

（3）子集：，，，，，，，；

真子集：，，，，，，．

【变式12】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）已知集合.

(1)写出集合M的子集、真子集;

(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数;

(3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?

【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为；

（2）由题意可知，

所以其子集为：，共个，

真子集为：，共个，

非空真子集为：，共个；

（3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个，

非空真子集个数为个.

【变式13】（2024·高一·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（?????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】，又，，

故集合为包含元素和，且为的子集，

故集合可以为：，则集合的个数是个.

故选：B.

题型二：韦恩图及其应用

【典例21】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意得．

故选：C

【典例22】（2024·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】B

【解析】，又，

所以?，选项B符合，

故选：B.

【方法技巧与总结】

Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用．

【变式21】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得：

由题意得，

所以N是M的真子集．

故选：B

【变式22】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={1，0}和N={x|x2x=0}关系的韦恩(Venn)图