2024-2025学年湖北省部分学校高三上册10月联考数学模拟检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年湖北省部分学校高三上学期10月联考数学模拟

检测试题

一?单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则（）

A.B.C.D.

2.若，则（）

A.B.C.D.

3.数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则（）

A.B.C.D.2

4.已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（）

A.B.C.D.

5.对于平面凸四边形，若，则四边形的面积为（）

A.B.C.D.大小不确定

6.已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

7.在平面直角坐标系中，双曲线的左?右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

8.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）

A.若与互斥，则

B.若与相互独立，则

C.若，则与相互独立

D.若发生时一定发生，则

10.已知，且，则（）

A.B.

C.D.

11.设是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（）

A.B.

C.D.

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数满足，则__________.

13.若是偶函数，则实数的值为__________.

14.在如图所示的直角梯形中，为梯形内一动点，且，若，则的最大值为__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知数列的前项和为且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前项和为.求.

16.（15分）在中，三个内角所对的边分别为.设向量，且.

（1）求角的大小；

（2）设是边上的一点，使得的面积是面积的2倍，且，求线段的长.

17.（15分）已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对任意的佰成立，求的最小值.

18.（17分）如图，在四棱锥中，底面，，平面与平面的交线为.

（1）求证：平面；

（2）设为内一动点，且，求线段长度的最小值；

（3）在（2）的条件下，当线段的长最小时，求直线与平面所成角的正弦值.

19.（17分）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵?信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：

（1）若，且，求随机变量的信息熵；

（2）若，求随机变量的信息熵；

（3）设和是两个独立的随机变量，求证.

答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

C

A

D

A

D

A

B

B

AB

ABD

AD

12.13.314.9

6.解析：面且是外心，

7.解析：四边形面积，，

单增，

又，

8.解析：，则，

所以有

9.解析：函数的定义域为，有，即函数是偶函数，

又，则是函数的一个周期，也是最小正周期，A正确

当时，，显然函数在上递增，在上递减，时，由偶函数的性质知，函数在上递增，在上递减，即当时，即函数在的取值集合为，

从而函数在的取值集合为，即在上的值域为，因此函数在上的值域为，B正确；

如图：

不关于直线对称，所以不关于直线对称，故C错

在上单调性同，所以递减，故D对.

11.解析：对两边求导得

即，故A对

，即恒成立，

（舍），故B错.

是奇函数，是偶函数，

为增函数，为增函数，

又，故C错.

，

，

为增函数，

，故D对.

14.解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度.

设，则.

过作垂直内侧墙壁于，作BD垂直内侧墙壁于，则

.

在直角三角形中，，

所以.

同理.

所以.

因为

（当且仅当且时等号成立）.

所以.因为走廊的宽度与高度都是3米，

所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为

15.解析：（1）在中，，

由余弦定理得，

则，有，

又平面平面，

平面平面，

平面，

则平面，直线两两垂直，

以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

设，

则，

由，得，

解得，即，所以当时，点为线段的中点.

（2）由（1）可得，

设平面的法向量