2024-2025学年湖南省衡阳市高三上册第二次月考（10月）数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年湖南省衡阳市高三上学期第二次月考（10月）数学

检测试题

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合，则（????）

A． B． C． D．

2．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，

则（???）

A．0或 B． C． D．

4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（????）

A．若，则B．若，则

C．若，则//D．若，则

5．已知圆C:过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为，则的最小值为（????）

A．2 B．4 C． D．3

6．函数的大致图象是（????）

A．B．C．D．

7．已知平行四边形中，，，分别为边BC，CD的中点，若，则四边形面积的最大值为（????）

A． B． C．4 D．2

8．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9．已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（）

A．B．

C． D．

10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，

且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（????

??A．B．为图象的一条对称轴

C．t可以等于5D．t的最小值为2

11．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（????）

A．为上的单调递增函数B．为奇函数

C．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点

D．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．若，则_________

13．已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积是___________.

14．已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定.

（1）若，则___________；

（2）若数列bn是等差数列，则数列an的前50项之和为

四．解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.

15．（13分）设为数列的前n项和，满足.

(1)求数列的通项公式；(2)记，求.

16．（15分）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.

(1)求；(2)若，则面积为，求的值.

D17．（15分）如图所示，三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，，点D，E，F分别是所在棱的中点.

D

（1）在线段上找一点使得平面∥平面，给出点的位置并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.

18．（17分）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，

①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；

②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．

19．（17分）设函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值；

(2)当时恒成立，求实数a的取值范围；

(3)证明：．

数学试题答案

1．D

【详解】∵，∴，∴，又∵，∴，

，∴，即，∴.

2．A

【详解】因为，所以．令，解得或，

故“”是“”的充分不必要条件．故选：A

3．B

【详解】成等差数列，，又，

，整理可得：，

，解得：（舍）或.故选：B.

4．C

【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误；

对B：若，则的位置关系不确定，故B错误；

对C：若，则//，故C正确；

对D：若，则的位置关系不确定，故D错误.故选：C.

5．C

【详解】如图所示：连接，则，

当最小时，最小，，故的最小值为.

6．B

【详解】函数的定义域为，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

且，，

因为，所以，所以只有B符合.

7．A

【详解】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

??

设，

则，

所以，

所以，

从而，即，等号成立当且仅当，

四边形面积的表达式为，

从而，等号成立当且仅当，

所以四边形面积的最大值为.