复习篇 第6讲 三角恒等变换 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（解析版）.docx

第6讲三角恒等变换

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1两角和差的正弦，余弦与正切公式

①余弦两角和差公式cos

②正弦两角和差公式sin

③正切两角和差公式tan

2辅助角公式

asin

其中tan

熟记两个特殊角的化简过程

a:b

sinx

a:b

sinx

3

3二倍角的正弦余弦正切公式

①sin

②cos

③tαn

(由S(α±β)、C(α±β)

4降幂公式

co

(由余弦倍角公式可得)

5*

sin

6*

sinα=

7*

sinα?cosβ=

cosα?cosβ=

sinα?sinβ=

8*

sinα+sinβ=2

cosα+cosβ=2

【题型1】三角恒等变换的技巧

技巧1“1”的代换

【典题1】已知3sinα+4cosα

解析将3sinα+4

即9sin

即9tan2α

【巩固练习】

1.(★★)已知tanα=2，则1sin

答案53

解析

∴1

2.(★★)已知tanα是关于x的方程2x2-

则3sin2α

答案2

解析3

=

=

=3-1+2

3.(★★★)已知α∈(π2,π),

答案-12

解析∵tan2α

∴tanα=-3或13(

∴sin

技巧2切化弦

【典题1】设0βαπ

A．2α+β=π2 B．2α-

解析由题意知，tan(α-

等式两边同乘以cos(α-

所以sinα=cos(

又0β

所以π2-α∈(0,π

所以2α

故选：B．

【巩固练习】

1.(★)若tanθ+1tanθ=4

A．15B．14C．13

答案D

解析∵tanθ+

∴sin2θ+cos

2.(★★)如果角θ满足sinθ+cosθ=2，那么tanθ+

A．-1 B．

答案D

解析∵sinθ+cosθ

那么tanθ+

故选：D．

3.(★★)如果角θ满足sinθ+cosθ=2

答案2

解析∵sinθ+cosθ

那么tanθ+

4.(★★★)若α∈0,π2，tan?2

答案15

解析由tan?2α=cosα2-sin?α，得sin?2αcos?2α=cosα2-sin?α，即2sin?αcos?α1-2

技巧3角的变换

【典题1】若0απ2，-π2β0，

A．33B．-33C．5

解析∵cosπ4+α

又∵cosπ4

∴sin

∴cos

=13×

【典题2】已知sin(α+3π4)=4

解析由-π4

所以cos(α+

由π4β

所以sin(π4

所以cos

=(-35)×

所以cos

【巩固练习】

1.(★)已知cos(π6

答案D

解析∵cos?π

2.(★)已知cos(π6-α)=

答案-

解析∵cos

∴sin

3.(★★)已知tan(α+β)=3，tan

答案4

解析∵tan(α+π

又tan(α+

∴tanβ=

4.(★★)若0απ2,-π

答案5

解析∵0απ

∴π4

∴sin(π

∴cos

=cos

5.(★★★)已知α∈(0,π)，sin(α

答案-

解析设θ=α+π3

∵α∈(0,π)，

∵sinθ=35∈(12,22

则cos

=2×-

6.(★★★)设0x1x2

答案35

解析设0x1

∵sin

∴02x

∴π

∴-π

∴cos

∴

=cos2

∴

∴

∴cos(

技巧4升幂与降次

【典题1】已知sin10°=a，则3sin240°

A．8a+41-a2B．4a

解析3sin

选A．

【巩固练习】

1.(★)若cos2θ=14，则sin

A．78 B．1932 C．138

答案C

解析∵cos

∴sin

故选：C．

2.(★★)若2cos2?α-π

A．-33 B．33 C．-3 D．3

解析由于2cos2?α-π3=1+cos?2α，整理得2cos2?α

3.(★★★)已知sin?(α

答案D

解析1

=1

=1-sin

技巧4设元

【典题1】化简cos

解析令x=

y=

则x+y=2-2

x-y=

①+②得2

=1-cos?

∴x=sin

【巩固练习】

1.(★★★)已知锐角α,β满足α-β=π3，则

A．4 B．43 C．8 D．8

答案C

解析因为锐角α,β满足α-

令x=cosαcosβ，

则x+

由题意得x0，y

则1cosαcosβ

当且仅当x=y时取等号，此时1cosαcosβ

故选：C．

【题型2】万能公式和半角公式的运用

【典题1】若α∈(0,π)，且sinα+2cosα

解析∵α∈