考点11 等差数列（解析版）-2024年新高考艺体生一轮复习.docx

考点11等差数列

等差数列定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

二．等差数列的有关公式

1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

2.前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(（a1＋an）n,2)

三．等差中项

1.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．

2.等差中项推广

等差数列前n项和的性质

1.前n项和与等差中项

2.前n项和片段性：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

4.当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．

五．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

1.函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．

2.邻项变号法：

（1）当a1＞0，d＜0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

（2）当a1＜0，d＞0时，满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

3.等差数列的增减性与最值

（1）公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；

（2）公差d0时为递减数列，且当a10时，前n项和Sn有最大值．

六．判定数列{an}是等差数列的常用方法

1.定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．

选下标--列定义式--换一项--化简---写结论

2.等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.

3.通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．

4.前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.

考点一等差数列基本量的运算

【例1】（2023广东潮州）等差数列的公差为，数列的前项和为．

(1)已知，，，求及；

(2)已知，，，求；

(3)已知，求.

(4)若，，求；

(5)若，，求；

(6)若，，，求n．

(7)若，，求；

(8)若，，求；

(9)若，，，求n．

【答案】(1)(2)(3)(4)2700(5)(6)(7)2(8)1596(9)11

【解析】（1）因为，

所以整理得，解得或（负值舍去），

所以

（2）因为，所以，

又因为，所以

（3）方法一：由，即，

所以

方法二：由，得，

所以

（4）因为，，根据公式，可得．

（5）因为，，所以．根据公式，可得．

（6）把，，代入，得．

整理，得．解得，或（舍去）．所以．

（7）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得；

（8）数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得，

则；

（9）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，则，解得，由，得，

解得或（舍去），故.

【变式】（2023·北京）已知数列是等差数列．

(1)若，，求；

(2)若，，求；

(3)若，，，求n．

(4)若，，求；

(5)若，，求；

(6)若，，，求n．

【答案】(1)2700(2)(3)．(4)2(5)1596(6)11

【解析】（1）因为，，根据公式，可得．

（2）因为，，所以．根据公式，可得．

（3）把，，代入，得．

整理，得．解得，或（舍去）．所以．

（4）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得；

（5）数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得，

则；

（6）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，则，解得，

由，得，解得或（舍去），故.

考点二等差中项

【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨）已知，，则、的等差中项为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】、的等差中项为.故选：B.

【例2-2】（2023·福建）在等差数列中，，则（????）

A．5 B．6 C．8 D．9

【答案】A

【解析】由是等差数列，则是和的等差中项，所以，则，.故选：A

【例2-3】（2023·湖南长沙）已知为等差数列，且是方程的两根，则等于（????）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】由是方程的两根，可得，

又由数列为等差数列，可得，所以.故选：C.

【例2-4】（2023湖南）在等差数列中，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为数列为等差数列，因为，得，所以，

所以，故A项正确.故选:A.

【变式】

1．（2023·山东青岛）已知在等差数列中，，则（????）

A．4 B．6