2025年高考数学一轮复习考点突破和专题检测专题07对数与对数函数.docx

专题07对数与对数函数6题型分类

1、对数式的运算

（1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

（2）常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

（3）对数的性质和运算法则：

①；；其中且；

②（其中且，）；

③对数换底公式：；

④；

⑤；

⑥，；

⑦和；

⑧；

2、对数函数的定义及图像

（1）对数函数的定义：函数且叫做对数函数．

对数函数的图象

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，当时，

当时，，当时，

（一）

对数运算及对数方程、对数不等式

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.

题型1：对数运算及对数方程、对数不等式

11．（2024·北京）已知函数，则．

【答案】1

【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数，所以.

故答案为：1

12．（2024高三上·湖北·阶段练习）使成立的的取值范围是

【答案】（1，0）

【详解】在同一坐标系中分别画出函数和的图象（如图所示），由图象，得使成立的的取值范围是；故填.

??

13．（2024·全国）已知函数，若，则．

【答案】7

【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.

详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

14．（2024高三上·江苏南京·期中）设函数，则.

【答案】

【分析】先求出，再求即可

【详解】因为，

所以，

所以，

故答案为：

15．（2024高三下·上海·阶段练习）若，且，则．

【答案】

【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.

【详解】，且，

且，

，

，

，

.

故答案为：.

16．（2024高三·全国·专题练习）=；

【答案】

【分析】利用换底公式、对数的运算性质计算可得结果.

【详解】原式

．

故答案为：.

（二）

对数函数的图像

研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型2：对数函数的图像

21．（2024·山东菏泽·三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为．

【答案】

【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】令，即，得，故，

由在直线上，得，即，

因为且，，所以且，，

所以.

当且仅当，即，即，时，等号成立.

故的最小值为.

故答案为：

22．（2024高二上·四川绵阳·单元测试）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为.

【答案】

【分析】求出定点，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】对于函数，令，可得，则，

故函数的图象恒过定点，

因为点在直线上，则，可得，

因为、，所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

23．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是.

【答案】

【分析】由题设不等式恒成立，只需在上成立即可，进而求m范围.

【详解】函数在，上单调递增，在，上单调递增，

∴，，

对任意的，，有恒成立，

∴，即，解得，

∴实数的取值范围是．

故答案为：.

24．（2024高三·四川·对口高考）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.

【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以，排除A，C；

又因为函数过点,

所以，解得．

故选：D

25．（2024·陕西）函数的图像大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时，，所以，排除D.

故选：B.

（三）

对数函数的性质（