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数学中的蝴蝶法则

蝴蝶定理的历史

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。

蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。

1981年，Crux杂志刊登了K.N.威尔逊对蝴蝶定理的推广，将圆变为了椭圆，同时条件也放宽了。

一、几何学中的蝴蝶定理（ButterflyTheorem）

蝴蝶定理是平面几何中的一个经典结论，因其图形类似蝴蝶而得名。最早由英国数学家WilliamWallace于1805年提出。

定理陈述：

在圆中，过弦ABAB的中点MM作任意两条弦CDCD和EFEF，连接CECE和DFDF并延长，分别交弦ABAB于点PP和QQ，则MM是PQPQ的中点（即PM=MQPM=MQ）。

证明思路：

对称性分析：利用圆的对称性，构造辅助线。

投影与相似三角形：通过垂径定理、相似三角形或正弦定理推导线段比例。

代数方法：建立坐标系，用解析几何计算坐标。

示意图：

C

/\

/\

E-------F

/\

/\

D\

/\

A-----------M---------------B

\/

\/

PQ

二、算术中的蝴蝶方法（ButterflyMethod）

在小学和初中数学中，“蝴蝶法则”也被用来指代分数运算中的一种可视化技巧，主要用于比较分数大小或进行加减法。

1.比较分数大小：

对两个分数a/b和c/d，交叉相乘比较ad和bc：

若adbc，则a/bc/d

交叉相乘的连线形似蝴蝶翅膀，故得名。

2.分数加减法：

计算a/b±c/d时，用蝴蝶翅膀形状记忆步骤：

分子部分：a×d±c×b

分母部分：b×d

示例：比较3/4和5/7

交叉相乘得3×7=21和5×4=20，因2120，故3/45/7。