线面角及直线与平面垂直的判定定理高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册.pptxVIP

11.4.1课时1线面角及直线与平面垂直的判定定理

1.理解异面直线所成的角.

2.了解直线与平面垂直的定义.

3.掌握直线与平面垂直的判定定理.

(一)直线与直线所成角

习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.

A

B1

C

B

A1

D1

D

C1

由等角定理可知，平行线所夹的角相等

1.异面直线所成角的定义：

2.直线与直线所成角的范围：

两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.

A

B1

C

B

A1

D1

D

C1

不一定相交，如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.

A1A⊥AB（相交垂直）

C1C⊥AB（异面垂直）

如图，则有

（二）直线与平面垂直的定义

直线与平面垂直的定义：

符号语言：

例如，旗杆与地面垂直，旗杆与地面上的影子都垂直.

这条直线叫做，这个平面叫做.

交点叫做.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.

垂线

垂面

垂足

O

α

A

B

平面的垂线

直线的垂面

垂足

垂线段

定义兼具两重性，既是判定又是性质.

判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是证明直线与平面垂直的一种方法；

性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.

这是判定线线垂直的一种方法

对判线面垂直定义的再认识：

需要验证平面内的每一条直线是否和已知直线垂直，很难操作！

（三）直线与平面垂直的判定

可去掉，但至少保留两页，

H

G

F

E

D

C

B

A

由此我们可以得到直线与平面垂直的判定方法.

1.直线与平面垂直的判定定理

文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.

图形语言：

符号语言：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅⇒l⊥α.

例1有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子,并把它的下端放在地面上的两点C,D(和旗杆脚不在同一条直线上),如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解：在△ABC和△ABD中，因为AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m，

所以AB2+BC2=82+62=102=AC2.

AB2+BD2=82+62=102=AD2.

所以∠ABC=∠ABD=90°，

即AB⊥BC，AB⊥BD.

又知B，C，D三点不共线,

因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直.

证明：由已知可得O为AC的中点.

在△SAC中，因为SA=SC，且AO=OC，

所以由等腰三角形三线合一可知SO⊥AC；

同理，SO⊥BD.

又因为AC∩BD=O，所以SO⊥面ABCD.

例2如图所示的四棱锥S-ABCD中，已知ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，且SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥面ABCD.

D

2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AC与体对角线D1B的位置关系是()

A．平行 B．垂直

C．相交 D．以上都有可能

B

3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC．

本节课你学到了哪些知识？

1.线面垂直的概念

2.如何判定线面垂直

3.转化思想：线面垂直线线垂直