2024_2025学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2_2 .pdf

1.2.3简洁复合函数的导数

旧标I1.了解复合函数的概念，驾驭复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求

导法则，并结合已经学过的式、法则进行一些简洁复合函数的求导(仅限于形如f(ax+围

的导数).

、新知提炼:之

1.复合函数的概念

由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数.如y=sin2x由y=sinu及〃=女

复合而成.

2.复合函数的求导法则

若y=f(d),u=ax+b,则入=y「•th,即丹=/・a.

其中N,招分别表示y关于王的导数及y关于旦的导数.

自我尝试:»

1.推断(正确的打，错误的打X”)

(1)下列函数都是复合函数.()

①y=—A3—?+1；d)y=cos[x+T；③夕=石上；④y=(2x+3)。

⑵函数尸声出的导数尸=一危k)

(3)函数y=x(l—ax)2(a0),且/「=2=5,则实数a的值为1.()

答案：(1)X(2)(3)

2.函数y=/cos2x的导数y=.

答案：2xcos2x—2jsin2x

3.函数(2017—8^)3的导数y=.

答案：一24(2017—8x)2

(jiAji

4.曲线y=cos|^2jr+—J在x=~处切线的斜率为.

答案：一2

探究点1复合函数的概念

博叵指出下列函数的复合关系：

y(l=)(a+b*)m；(2)y=(/+4x)；

(3)y=e2+jr2；(4)y=2sin(2—了).

【解】(l)y=/,a+bx.

(2)y=i/,u=x+4x

(3)y=e”,u=2+x.

(4)y=2sinu,u=2~x.

同圈阻回

推断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本

函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应

是关于自变量X的基本函数或关于自变量X的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.

跟踪训练】

(1)y=cos(展x+1)；(2)y=e3/+2；(3)q_^5^3.

解：(l)y=cosu,u=y［3x+1；

(2)y=e\u=3x+2；

⑶尸/,〃=l+5x.

探究点2求复合函数的导数

K)求下列函数的导数.

⑴尸(2x+3)2；

(2)尸e：

(3)y=sin(兀x+S)(其中兀，S均为常数).

【解】⑴函数y=(2x+3；P可以看作函数尸廿和以=2好3的复合函数.依据复合

函数求导法则有

yx=yfu•ux=3)•(2x+3)=4〃=8x+12.

(2)函数y=e-2x可以看作函数y=e和u=_2x的复合函数.依据复合函数求导法则有

yx=y‘u•ux=(e)(—2才)=—2eu=—2e-2-¥.

(3)函数y=sin(兀x+S)可以看作函数y=sin〃和〃=兀x+S的复合函数，依据复

合函数求导法则有yx=yu•合x=(sinu)•(兀x+巾)=兀cosu—兀cos(兀x+巾).

同圈圈应1

求复合函数的导数的步骤

［适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说、