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专题12解直角三角形及应用
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1特殊角三角形函数应用
2023·深圳卷：30°余弦值、坡角问题
2023·广州卷：30°正切值、方位角问题
在中考几何题中，经常会涉及到线段长度的有关计算，我们的处理方法一般是利用勾股定理、相似性质及三角函数关系解直角三角形，近年中考偏向于解决实际问题：仰角俯角问题、方位角问题、坡度坡比问题及其他类型。
考点2用三角函数值表示线段长
2021·深圳卷：三角形的外角、等腰三角形的性质、解直角三角形
2020·深圳卷：直角三角形的应用-方向角问题
考点3三角函数在几何计算中的应用
2021·广州卷：角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求
2020·深圳卷：相似三角形、三角函数定义、勾股定理
2021·广东卷：线段垂直平分线的性质、三角函数的定义、勾股定理
考点4解直角三角形的实际应用
2024·广东卷：矩形的性质、解直角三角形的实际应用
2024·广州卷：解直角三角形的应用—仰俯角问题
2023·广东卷：等腰三角的性质、解直角三角形的应用
2022·广州卷：相似三角形的性质、解直角三角形、近似运算
考点1特殊角三角形函数应用
（2023·广东深圳·中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（????）
??
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【答案】B
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（）
A. B. C.20 D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，此题易得，，再利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接，
由已知得：，
∴
在中，（），
故选：D
考点2用三角函数值表示线段长
（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即：,
∴,
故选：C
【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
（2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（???）
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
考点3三角函数在几何计算中的应用
（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出，并利用旋转性质得出，，，则可求得，再根据勾股定理求出，最后由三角形函数的定义即可求得结果．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了求角的三角形函数值，掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键．
（2020·广东深圳·中考真题）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=．
【答案】
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
BE⊥AD，
，
∴
∴
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