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基于材料力学经典教材中应力定义的探讨

摘要：本文对当前材料力学经典教材中应力的定义和

描述进行了讨论，针对其中可能引起的谬误进行了相应分

析，新的定义相对简洁，克服了原来定义中存在的问题。

关键词：材料力学平均应力极限应力

应力是材料力学中非常基本和重要的概念[1]。现有

的材料力学教材中，对于应力的定义和描述有一些谬误和含

混不清，易让初学者疑惑甚至理解错误。本文将指出其中的

问题，并提出一种更合理的定义和描述方式供材料力学教育

工作者和学习者参考。

1.材料力学经典教材中对应力的定义

首先以被各大高校广泛采用的刘鸿文教授的材料力

学教材为例[2]，阐述现今普遍采用的定义和描述应力的方

式。

首先，为了说明截面上各处材料的受力强度，引入内

力集度，即内力集中程度的概念。设在某受力构件的m-m截

面上，围绕一点取微小面积ΔA，该微小面积ΔA上内力的合

力为ΔF，则单位面积上内力的平均集度为p=，也称为平

均应力。当ΔA→0时，极限值p=是该点处内力的集度，称

为该点的应力。由此得到应力的定义，简单地理解为面积趋

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为零的极限，有的教材上还直接写成p=。

这些教材指出，按照这里给出的定义，当该微小面积

ΔA→0时，ΔA上的内力的极限状态将是一个力，而不是一

个力和一个力偶，即暗示ΔA上的内力对ΔA内任一点的力

矩都等于零。

通过理论力学的知识，m-m截面受到空间任意力系的

作用，那么围绕截面上某点的微小面积ΔA上所受的是空间

任意力系作用，存在如下几个问题：

（1）在截面上不同的位置，截面所受力是不一样的；

在截面上不同的面积上，所受力是不一样的；即使是面积大

小相同，但形状不同的话，所受力也是不一样的，即力ΔF

是不依赖于面积ΔA而存在的。综上所述，即使该面积小到

趋近于零，也不一定会收敛于同一值。

（2）数学上对极限的定义为：设函数f（x）在点x的

某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的

正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不

等式0|x-x|δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式|f

（x）-a|ε，那么常数a就叫做函数f（x）当x趋于x的

极限，记作f（x）=a。将上述定义对应至材料力学应力定

义中，平均应力应为ΔA的函数，那么在面积ΔA为零的邻

域内应满足上述极限的定义。材料力学中一条非常重要的假

设是材料的连续性假设，那么在面积为零及其无限小的邻域