v4.0---答案----培第22堂大作业（圆盘碰撞和摩擦）.docx

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华中科技大学周培源力学竞赛测试题

（培第22堂：圆盘碰撞类测试题）

本次测试的部分题是碰撞难题，请大家保持乐观的心态，尽力而为吧

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【说明】

1）将手写作业图片嵌入到每道题文字后。注意图片正立。文字清晰，字迹工整。要有相应的图。

2）然后转换成PDF格式的文件，文件重新命名为：第几堂+班级姓名级别，比如这次：培第13+机械1905张华A

************试题培21***********

【培22-01】（5分）如图所示，一个均质薄圆盘，质量为m，半径为r,在光滑的水平面上，转速为，其质心的速度O为v。若突然将其边缘的A点用铰链固定住。求固定后，圆盘的角速度。

【思维过程】仅一处有约束，根据方法优选动量矩守恒。

【培22-02】（25分）均质的质量为m的半径为r,的运动的乒乓球，从高处落下。与地面接触的瞬时，其角速度如图(a）为，逆时针，其质心O的速度为v，与垂直方向的夹角为。球与地面相撞好，因摩擦作用，接触点的水平速度突然为0，恢复系数为k。

求质心的回弹角。

球第n次再次与地碰撞时，碰撞点与第一次的碰撞点的距离和所用的时间。

3）如图(b）,若有一个长为100r的均质杆件悬挂在铰链A上.图中S=50r，h=0.若小球与光滑的AB发生碰撞，不引起A处约束反力的变化，则小球第一次与地面发生碰撞前的速度v是多少？

图(a）

如图(b）

【分析】。

第1问：k不等于0，若认为地面对A无位置限制，视为自由，则是2个自由度，有2个独立的速度量，不引入未知冲量，需列2个独立的动力学积分方程。对于碰撞类问题，K也算一个能量形式的动力学积分方程，对冲击点的动量矩守恒算第2个。再补充运动学速度关系。[OP】基点法。

(注意：k与自由度的计算关系：若k不等于0的情形，地面对A无位置限制，视为自由，将多出1个自由度，此时K这个方程视为动力学能量形式的积分方程。若用了K的方程，自由将减1)

[第1问解法2]

【第2问】碰撞后脱离地面的过程中，DOF=3，求距离和时间，相当于常规题。对质心动量矩定理得到转速不变。仅仅受重力，质心作斜抛运动。按高中知识计算出再次接触地的时间（质心距离地为r时）；再类似计算第2次碰撞。不需要具体计算后续次数的，用观察法得到第N次的关系公式。

【第3问】由第2问知道N次移动的距离与初始速度的关系。当AB杆件光滑时，考虑到圆盘与AB杆件的碰撞点在碰撞中心即可。不要求圆盘的质心速度方向，只要圆盘质心C点的速度在圆盘质心C的水平距离杆件AB为r时，C点的高度正好与碰撞中心高度相同时。

注意：原题漏掉了AB杆件光滑。若AB杆件不光滑时，要实现此目的，需要质心到达与碰撞中心同样的高度和圆盘上的碰撞点的速度仅仅为水平，这样要满足2个条件，故需要有2个待求未知量，第1次入射的速度和角度应该为待求未知量。

【培22-03】（15分）上题若圆盘改为视为质点的小球。地面光滑，鞥装系数为k。请求同样的3个问题？

求小球的回弹角。

球第n次再次与地碰撞时，碰撞点与第一次的碰撞点的距离和所用的时间。

若有一个长为100r的均质杆件悬挂在铰链A上.图中S=50r，h=0.若小球与AB发生碰撞，不引起A处约束反力的变化，则小球第一次与地面发生碰撞前的速度v是多少？

【思维过程】第1,2问仿照圆盘题，多一个水平动量守恒，就比较简单。自行完成

第3问：质点到达撞击中心，且质点的速度水平。即最后一次碰撞前，质点弹起后，质点斜抛到最高点。（这是与圆盘与杆件碰撞的不同的地方）

【培22-04】（25分）如图所示，有一个质量为m，半径为r的均质圆盘，在水平地面上纯滚动。

其质心C以匀速前进时，突然与高度h小于圆盘半径r的凸台碰撞。

1）假设此碰撞是完全非弹性碰撞，设碰撞时圆盘与地面有分离的趋势。求圆盘碰撞后的角速度和冲量。

2）假设此碰撞是完全非弹性碰撞，圆盘能越过凸台，碰撞前轮心C的速度至少为多大？

3）若是完全弹性碰撞，碰撞前轮心C的速度至少为多大，圆盘才能越过凸台？

4）若是完全弹性碰撞，且能越过凸轮，圆盘与过A的水平线（即台阶）最先接触点的速度是多少？此时接触点距离A点的距离是多少？

【思维过程】

第1问：如视频所讲，K=0时，题目未说明公切线的速度，就视为无公切线的速度。接触处有摩擦力。摩擦力本质上是受压后变形产生的方作用力再公切线上的分量。若不是光滑，若提供压力的是冲击力，公切线上的摩擦力视为冲击力，需要考虑其引起的冲量。若是物体重力提供的压力，就忽略不计。故公切线的摩擦力会引起一个公切向的反冲量