甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题（含答案解析）.docx

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甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数对应的点位于（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（???）

A． B． C．6 D．12

4．直线被圆截得的弦长为（???）

A． B． C． D．

5．已知，则（???）

A． B． C． D．

6．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（???）

A． B． C． D．

7．已知函数满足且，，则的取值范围为（???）

A． B． C． D．

8．已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（???）

A．

B．估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为

C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间

D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

10．若，则（???）

A． B．

C． D．

11．若函数图象的一条对称轴方程为，则（???）

A． B．

C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增

三、填空题

12．椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为.

13．已知向量，，若，则.

14．已知函数，则函数的最小值为；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是.（注：当时，）

四、解答题

15．已知等差数列的前项和为，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

16．现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：

A

B

总计

喜欢

40

10

50

不喜欢

20

30

50

总计

60

40

100

(1)根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？

(2)为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

附表格及参考公式：，其中.

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

17．已知函数.

(1)若在处取得极值，求实数的值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD平面ABCD，，，，.

(1)证明：.

(2)已知Q为侧棱PB上一点，平面QAC.

①求的值；

②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

19．已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点.

(1)求双曲线的离心率.

(2)过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P.

①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程；

②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：.

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《甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

A

D

C

B

C

D

BCD

ABD

题号

11

答案

BC

1．C

【分析】解不等式，化简集合，根据交集的定义求结论.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2．B

【分析】根据复数乘法法则计算，再由复数几何意义确定其所对应的点的象限.