新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第二节圆与方程第3课时深化提能__与圆有关的综合问题讲义含解析.docVIP

PAGE

PAGE5

第3课时深化提能——与圆有关的综合问题

圆的方程是中学数学的一个重要学问点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他学问的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．

与圆有关的轨迹问题

[典例]已知圆x2＋y2＝4上肯定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)．

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]

1．(2024·厦门双十中学月考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上随意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A设中点为A(x，y)，圆上随意一点为B(x′，y′)，

由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＋4＝2x，,y′－2＝2y，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x－4，,y′＝2y＋2，))

故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则eq\o(CM,\s\up7(―→))＝(x，y－4)，eq\o(MP,\s\up7(―→))＝(2－x,2－y)．

由题设知eq\o(CM,\s\up7(―→))·eq\o(MP,\s\up7(―→))＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq\r(2)为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．

又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq\f(1,3)，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2eq\r(2)，O到l的距离为eq\f(4\r(10),5)，

所以|PM|＝eq\f(4\r(10),5)，S△POM＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(10),5)×eq\f(4\r(10),5)＝eq\f(16,5)，

故△POM的面积为eq\f(16,5).

与圆有关的最值或范围问题

[例1](2024·兰州高三诊断)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是()

A．[－2,6] B．[－3,5]

C．[2,6] D．[3,5]

[解析]法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝eq\r(?5－1?2＋?t－4?2)≤eq\f(\r(10),sin45°)＝eq\r(20)，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.

法二：由于点M(5，t)是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围肯定关于t＝4对称，故解除选项A、B.当t＝2时，|CM|＝2eq\r(5)，若MA，MB为圆C的切线，则sin∠CMA＝sin∠CMB＝eq\f(\r(10),2\r(5))＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时符合题意，故解除选项D.选C.

[答案]C

[例2]已知实数x，y满意方程x2＋y