预习15 等比数列（七大考点）（原卷版）.docx

预习15等比数列

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.

2．会判断和证明一个数列是等比数列.

3．掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.

4．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.

知识点一、等比数列的概念与通项公式

1.等比数列的定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）.

注意：（1）等比数列中不能有0项

（2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.

2.等比中项

如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,.

3.等比数列的通项公式

（1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为.

（2）第项与第项的关系为,变形得.

（3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即.

知识点二、等比数列的常用性质

（1）如果,则有.

（2）如果,则有.

（3）若成等差数列,则成等比数列.

（4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.

（5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为.

（6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即

（7）等比数列的单调性

①当或时,等比数列为递增数列;

②当或时,等比数列为递减数列;

③当时,等比数列为摆动数列.

考点一：等比数列的通项公式及应用

例1．已知数列中，，，，那么数列的前10项和等于（????）

A．130 B．120 C．55 D．50

变式1-1．若数列的通项公式是，且等比数列满足，则.

变式1-2．正项递增等比数列，前项的和为，若，则（???）

A．3 B． C．4 D．

变式1-3．已知公比不为1的等比数列且成等差，则.

考点二：等比数列的判定或证明

例2．已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式2-1．在正项数列中，，且，则．

变式2-2．已知数列满足，（为常数），试探究是不是等比数列，并求.

变式2-3．在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．

考点三：等比中项及应用

例3．已知在等比数列中，，，则（????）

A． B． C． D．

变式3-1．在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（）

A．8 B．16 C．32 D．64

变式3-2．已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于.

变式3-3．已知，若是与的等比中项，则的最小值是．

考点四：等比数列性质及其应用

例4．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（????）

A． B． C．11 D．10

变式4-1．在等比数列中，是方程两根，若，则的值为（????）

A． B． C．3 D．9

变式4-2．已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（????）

A．1 B．3 C．5 D．7

变式4-3．记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点五：等比数列的单调性

例5．在递增等比数列中，，，则公比q为(?????)

A． B．2 C．3 D．

变式5-1．已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

变式5-2．在等比数列中，公比为，已知，则是数列单调递减的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

变式5-3．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

考点六：等比数列中的最值问题

例6．已知数列为正项等比数列，，若是数列的前项积，则当取最大值时的值为．

变式6-1．已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（???）

A．9 B．8 C．7 D．6

变式6-2．（多选）设是各项为正数的等比数