预习14 等差数列的前n项和（九大考点）（解析版）.docx

预习14等差数列的前n项和

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．探索并掌握等差数列的前n项和公式

2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系

3．能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题

知识点一、等差数列的前n项和公式

已知量

首项、末项与项数

首项、公差与项数

公式

等差数列前n项和的函数特点：

对于等差数列,如果是确定的,前项和.

若取,上式可写成.

当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.

知识点二、等差数列的前n项和的性质及应用

1.等差数列前n项和的性质

（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.

（2）数列是等差数列(为常数)

（3）等差数列奇偶项和的性质：

①若项数为,则.

②

2.等差数列前n项和的最值

（1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.

（2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.

考点一：求等差数列的前n项和

例1．已知数列是等差数列，其中，则（??）

A．4050 B．4048 C．2025 D．2024

【答案】C

【详解】因为数列是等差数列，且，

所以.

故选：C.

变式1-1．设等差数列的前项和为，且，，那么（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】设公差为，因为，，则，解得，

所以.

故选：D

变式1-2．记为等差数列的前项和，若，则．

【答案】

【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，

则．

故答案为：

变式1-3．数列满足（且），，为数列的前项和，则．

【答案】125

【详解】由（且）可得数列为等差数列，且公差为3，

由解得，则.

故答案为：125.

考点二：前n项和有关的基本量计算

例2．（多选）设等差数列的前项和为．若，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】设等差数列的公差为，

由题意可得，解得，

．

故选：BD.

变式2-1．设是等差数列的前n项和，若，则（????）

A．12 B．18 C．24 D．32

【答案】C

【详解】因为，

所以，则．

故选：C.

变式2-2．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【详解】方法一：

∵等差数列满足，，

∴由等差数列前项和公式有，解得，

∴，，

对于A，，故选项A正确；

对于B，，当取与最接近的整数即或时，最大，∴，故选项B正确；

对于C，，故选项C正确；

对于D，，故选项D错误.

方法二：

∵等差数列满足，

∴，∴

对于A，，∴，故A正确；

对于B，，，，∴，故选项B正确；

对于C，，故选项C错误；

对于D，，故选项D错误.

故选：ABC.

变式2-3．已知为等差数列的前项和，若，则.

【答案】

【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即，

则.

故答案为：

考点三：片段和性质

例3．已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（????）

A． B． C．9 D．18

【答案】B

【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列，

所以，，则，

故选：B.

变式3-1．若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为.

【答案】50

【详解】由等差数列片段和性质知：为等差数列，

所以，则，

所以.

故答案为：

变式3-2．等差数列的前项和为，若，，则.

【答案】30

【详解】因为为等差数列的前n项和，且，，则成等差数列，

而，于是，

所以.

故答案为：30

变式3-3．设等差数列的前项和，若，，则（????）

A．18 B．27 C．45 D．63

【答案】C

【详解】由题意得成等差数列，

即成等差数列，

即，解得.

故选：C

考点四：前n项和与n的比值

例4．已知为等差数列的前项和，若，且，则（????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【详解】由等差数列的性质可得为等差数列，

所以，则.

故选：B.

变式4-1．已知等差数列的前项和为，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设等差数列的公差为，

则，

数列是公差为的等差数列，，解得：，

.

故选：D.

变式4-2．在等差数列中,,其前项和为,则.

【答案】110

【详解】解:由题知为等差数列,记数列,

所以,由,可知,

所以是以2为首项,1为公差的等差数列,

所以,

所以,所以.

故答案为:110

变式4-3．已知首项为2的数列，其前项和为，且