预习13 等差数列（七大考点）（解析版）.docx

预习13等差数列

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义；

2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算；

3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.

知识点一、等差数列的概念与通项公式

1.等差数列的定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.

2.等差中项

由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,.

3.等差数列的递推公式及通项公式

已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为，

通项公式为

知识点二、等差数列的性质与应用

1.等差数列通项公式的变形及推广

（1） （2）.

（3）,且.

2.若分别是公差为的等差数列,则有

数列

结论

公差为d的等差数列(c为任一常数)

公差为cd的等差数列(c为任一常数)

公差为2d的等差数列(k为常数)

公差为的等差数列(p,q为常数)

3.下标性质

在等差数列中,若,则.特别的,若,则有

考点一：等差数列的通项及计算

例1．已知等差数列满足，则（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【详解】在等差数列中，

故选：B.

变式1-1．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意得，即，则．

故选：A．

变式1-2．数列中，，，则（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】数列中，，，

所以数列是首项，公差的等差数列，

所以.

故选：A.

变式1-3．在等差数列中，，且，则．

【答案】/

【详解】设等差数列公差为，

因为，即，

整理得，

所以．

故答案为：.

考点二：等差数列的判断与证明

例2．已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则，

对于①，因，，则为常数，故是等差数列；

对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列；

对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列；

对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列.

即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个，

故选：C.

变式2-1．已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由．

【答案】是，公差为3

【详解】因为，

所以数列是等差数列，且公差为3.

变式2-2．已知数列的首项，且满足，设，证明：是等差数列；

【答案】证明见解析

【详解】将等式两边都减去得：.

再除以得：，

由于，即.

即，且.

所以是首项为，公差为的等差数列.

变式2-3．已知数列满足.

(1)求证：是等差数列.

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）为常数，

所以为公差为的等差数列，

（2）由于为公差为的等差数列，且首项为，

所以，所以

考点三：等差中项及应用

例3．在等差数列中，若，则（????）

A．5 B．7 C．9 D．10

【答案】A

【详解】由于是等差数列，故，所以.

故选：A.

变式3-1．已知，，则、的等差中项为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】、的等差中项为.

故选：B.

变式3-2．“数列为等差数列”是“”的（?????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，

反之成立，不一定有数列是等差数列.

故选：A.

变式3-3．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（????）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【详解】由和是方程的两实数根，则，

由等差数列性质可得，故.

故选：C.

考点四：等差数列的性质

例4．已知数列是等差数列，且满足，则等于（????）

A．45 B．60 C．75 D．90

【答案】A

【详解】由等差数列性质计算可得，即，

所以可得.

故选：A

变式4-1．已知数列是等差数列，，则（????）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，则，又，则，

解得，

所以.

故选：C

变式4-2．设公差的等差数列中，满足，则的值为.

【答案】QUOTE45QUOTE4545/

【详解】因为为等差数列，所以，

所以，，，

因为，所以