2025年高考数学重难点概率与统计答题技巧（解析版）.docx

解答题045类概率与统计答题模板

（分布列及期望方差、二项分布超几何分布正态分布、条件概率全概率贝叶斯公式、独立性检验与线性回归直线方程、概率与数列及导数杂糅）

模板

模板01离散型随机变量的分布列及期望方差的答题模板

模板02二项分布、超几何分布、正态分布的答题模板

模板03条件概率、全概率与贝叶斯公式的答题模板

模板04独立性检验与线性回归直线方程的答题模板

模板05概率与数列及导数杂糅的答题模板

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模板01离散型随机变量的分布列及期望方差的答题模板

离散型随机变量的分布列与数字特征是新高考卷中的高频考点，难度适中，常在解答题中出现，需要重点复习。

1．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

称为离散型随机变量X的概率分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

2．离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.

3．离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差．

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．

(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

思路详解：（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

（2）依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

0

10

20

30

0.16

0.44

0.34

0.06

期望.

1．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

思路详解：（1）由题可知，的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以的分布列为

（2）由（1）知，．

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．

；

；

．

所以．

因为，所以小明应选择先回答类问题．

2．（2024·四川宜宾·一模）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立.

(1)求该选手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望.

思路详解：（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件．

由题意知，，

所以

．

（2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4．