2025年高考数学重难点2025年高考数学第07讲 复数的概念（原卷版）.docx

第07讲复数的概念

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系

2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念

3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法

知识点1实数系

（1）实数系的分类

(2)实数的性质

①实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍是实数；

②加法与乘法满足交换律、结合律,乘法对加法满足分配律；

③实数和数轴上的点可以建立一一对应关系.

知识点2复数的概念

（1）复数的引入

为了解决这样的方程在实数系中无解的问题,设想引入一个新数,使得是方程的解,即使得,并且可与实数进行四则运算,且原有的加法与乘法的运算律仍成立.

所以实数系经过扩充后得到的新数集是.

（2）复数的概念

我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.

（3）复数相等

在复数集中任取两个数，，（），我们规定.

知识点3复数的分类

对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:

知识点4复数的几何意义

（1）复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数??复平面内的点

（2）复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数??平面向量

知识点5复数的模

向量的模叫做复数)的模，记为或

公式：，其中

复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；

特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).

知识点6共轭复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.

考点一：虚单位及其性质

例1．（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：①；②若，则.

【变式1-1】（23-24高一下·山东枣庄·期中）．

【变式1-2】（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）.

【变式1-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）的平方根为.

考点二：复数的基本概念

例2.（2024高一·全国·专题练习）给出下列四个命题：

①两个复数不能比较大小；

②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；

④以2为实部的复数有无数个．

其中真命题是.（填写序号）

【变式2-1】（23-24高一下·全国·课后作业）判断题

（1）判断：实数集在复数集中的补集是虚数集.()

（2）判断：满足的数x只有i.()

（3）判断：形如的数不一定是纯虚数.()

（4）判断：两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等.()

（5）判断：复数由实数、虚数、纯虚数构成.()

【变式2-2】（24-25高一上·上海·课前预习）.()

【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若复数，则、一定都是实数.()

考点三：复数的实部与虚部

例3.（23-24高一下·全国·课堂例题）分别写出下列各复数的实部与虚部．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)；

(9)；

(10)；

(11)；

(12)．

【变式3-1】（2024高一下·全国·专题练习）复数，则（????）

A．的实部为 B．的虚部为

C．的虚部为 D．的虚部为1

【变式3-2】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知复数，则复数的实部为.

【变式3-3】（23-24高一·全国·课后作业）的实部等于3，虚部等于4i()

考点四：复数相等

例4.（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（????）

A．1 B． C．5 D．

【变式4-1】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式4-2】（23-24高一下·广西南宁·期中）若实数，满足，则（????）

A． B．3 C． D．1

【变式4-3】