2025年高考数学二轮复习专题12 数列不等式放缩技巧（讲义）（原卷版）.docx

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专题12数列不等式放缩技巧

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 6

05核心精讲·题型突破 8

题型一：先求和后放缩 8

题型二：裂项放缩 10

题型三：等比放缩 12

题型四：型不等式的证明 14

题型五：型不等式的证明 16

题型六：型不等式的证明 18

题型七：型不等式的证明 20

重难点突破：利用递推关系进行放缩 22

数列放缩技巧是高考数学中的核心考点，尤其在数列与不等式相结合的复杂问题中更为凸显。当前，这类问题的难度已趋于稳定，保持在中等偏难水平。解题时，关键在于对数列通项公式的灵活处理，特别是通过巧妙的变形来接近那些具有明确求和公式的数列类型。在此过程中，向可裂项相消的数列和等比数列靠拢，成为了放缩策略中的高级且有效的手段。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

数列不等式

掌握技巧，提升解题能力

2023年II卷第18题，12分

2022年I卷第17题，10分

2021年乙卷第19题，12分

2021年II卷第17题，10分

2021年浙江卷第20题，15分

预测2025年高考数学试题趋势，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）在导数题目的压轴环节，第二问极有可能涉及利用导数理论进行数列不等式的证明，此类型问题预计将具备较高的思维难度与解题复杂度，对考生的逻辑推理与数学分析能力提出严峻挑战。（2）至于数列解答题部分，其第二问预计将以中等偏上的难度水平出现，该题预计将融合多个知识点，构成一道综合性较强的题目，旨在全面考察考生对数列知识的深入理解及灵活运用能力。

常见放缩公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）

；

（11）

；

（12）；

（13）．

（14）．

（15）二项式定理

①由于，

于是

②，

；

，

（16）糖水不等式

若，则；若，则．

1．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．

(1)求的通项公式和．

(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

2．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

3．（2021年天津高考数学试题）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{bn

（I）求{an}

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

4．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

题型一：先求和后放缩

【典例1-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）已知的前n项和为，，且满足______，现有以下条件：

①；②；③

请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的前n项和，并证明：．

【典例1-2】已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.

(1)证明：是等差数列；

(2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：.

先求和后放缩方法是一种处理数列不等式问题的有效策略。其核心思路在于，首先通过求和将数列的项合并，简化问题形式；接着，在求和的基础上进行适当的放缩，即利用不等式的性质对求和结果进行放大或缩小，从而更便于进行后续的比较和推导。

【变式1-2】已知数列满足.记.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和；

(3)若，数列的前项和为，求证：.

【变式1-3】已知在数列中，，且当时，.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

1．设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．

(1)若，判断数列是否是“数列”；

(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，

①求的值；

②设为数列的前项和，证明：

题型二：裂项放缩

【典例2-1】已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．

(1)求数列和的通项公式；

(2)证明：；

(3)求使得成立的最大整数．

【典例2-2】数列中，，，（）.

(1)试求、的值，使得数列为等比数列；

(2)设数列满足：，为数列的前n项和，证明：时，.