2025年高考数学二轮复习专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（讲义）（解析版）.docx

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专题07函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 28

题型一：含参数函数单调性讨论 28

题型二：导数与数列不等式的综合问题 32

题型三：双变量问题 40

题型四：证明不等式 48

题型五：极最值问题 55

题型六：零点问题 62

题型七：不等式恒成立问题 70

题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 77

题型九：利用导数解决一类整数问题 86

题型十：导数中的同构问题 93

题型十一：洛必达法则 101

题型十二：导数与三角函数结合问题 108

重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题 115

本节内容在高考中常作为压轴题出现，涉及函数零点个数、不等式证明及存在性等问题，综合性强且难度较大。解决这类导数综合问题，需要综合运用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等多种思维方法，并结合不等式、方程等相关知识。这类问题不仅思维难度大，而且运算量也相当可观。可以说，考生一旦攻克了本节内容，就将具备出色的逻辑推理、数学运算、数据分析和直观想象等核心素养。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

不等式

掌握技巧，灵活应用求解

2024年天津卷第20题，16分

2023年I卷第19题，12分

2023年甲卷第21题，12分

2023年天津卷第20题，16分

2022年II卷第22题，12分

函数与导数在高中数学中占据重要地位，不仅是重点考查内容，也是高等数学的基础。通过对近十年高考数学试题的分析，可以总结出五大核心考点：一是含参函数的单调性、极值与最值问题；二是函数的零点求解问题；三是不等式恒成立与存在性的探讨；四是函数不等式的证明技巧；五是导数中涉及三角函数的问题。其中，函数不等式证明中的极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题以及不等式的放缩技巧，是当前高考函数与导数压轴题的热门考点。

极最值

明确概念，掌握求解方法

2024年II卷第16题，15分

2023年乙卷第21题，12分

2023年II卷第22题，12分

恒成立与有解

理解概念，熟练转化求解

2024年I卷第18题，17分

2024年甲卷第21题，12分

2022年北京卷第20题，12分

2021年天津卷第20题，16分

2020年I卷第21题，12分

零点问题

理解原理，熟练求解应用

2022年甲卷第21题，12分

2022年I卷第22题，12分

2022年乙卷第20题，12分

1、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0．

（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证，则令．

（3）判断单调性，即利用导数讨论的单调性．

（4）比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．

（5）转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．

【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

2、应用对数平均不等式证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到；

③利用对数平均不等式来证明相应的问题．

3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可．

1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)当时，，求的取值范围．

【解析】（1）当时，，

故，

因为在上为增函数，

故在上为增函数，而，

故当时，，当时，，

故在处取极小值且极小值为，无极大值.

（2），

设，

则，

当时，，故在上为增函数，

故，即，

所以在上为增函数，故.

当时，当时，，

故在上为减函数，故在上，

即在上fx0即

故在上，