2025年高考数学二轮复习专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（讲义）（原卷版）.docx

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专题06函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 7

05核心精讲·题型突破 10

题型一：唯一零点求值问题 10

题型二：不动点与稳定点 11

题型三：运用反函数思想妙解压轴题 12

题型四：倍值函数 13

题型五：最值函数 15

题型六：嵌套函数 16

题型七：共零点问题 17

题型八：双参数比值型问题 18

题型九：指数函数与对数函数的交点 19

题型十：曼哈顿距离问题 20

题型十一：平口单峰函数 22

题型十二：三次函数 23

题型十三：指对同构 25

题型十四：切线放缩与夹逼 26

题型十五：整数解问题 28

题型十六：导数中的“最短距离”问题 29

题型十七：等高线问题 31

重难点突破：多变量问题 32

高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

零点

掌握零点概念，熟练求解方法。

2024年天津卷第15题，5分

2024年II卷第6题，5分

2023年II卷第11题，5分

2022年I卷第10题，5分

2021年I卷第7题，5分

预测2025年高考数学，导数知识将成为重头戏。它或以简洁明了的选择题、填空题形式独立出现，主要考察基础计算与几何理解，难度相对较低；或巧妙融入解答题之中，成为解题关键。特别是利用导数探究函数单调性、极值与最值等深层次应用，预计将作为选择题、填空题的难点部分，出现在题序后端，难度适中偏上，综合考察学生的分析能力和解题技巧。这样的设计既考验学生的基础知识，又挑战其综合运用能力，是高考数学中的一大亮点。

不等式

掌握导数应用，解决不等式问题。

2024年II卷第8题，5分

2021年II卷第16题，5分

三次函数

理解性质，熟练求解应用。

2024年I卷第10题，6分

2022年I卷第10题，5分

2021年乙卷第12题，5分

1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．

3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．

4、分段函数零点的求解与判断方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；

（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

5、动态二次函数中静态的值：

解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．

6、动态二次函数零点个数和分布问题：

通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．

7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：

（1）对称轴变动，区间固定；

（2）对称轴固定，区间变动；

（3）对称轴变动，区间也变动．

这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．

8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…

具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．

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