2025年高考数学第16讲 二项式系数的性质（思维导图+4知识点+四大考点+过关检测）（原卷版）.docx

第16讲二项式系数的性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

【考点一：二项式系数及最值问题】

【考点二：展开式系数最值问题】

【考点三：利用赋值法解系数问题】

【考点四：用二项式定理解整除求余】

模块四小试牛刀过关测

1.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题；

2.灵活运用二项式系数的性质。

一、二项式定理的性质

1、对称性：在的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

即，，…，

2、增减性与最大值

当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小；

二、巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题

1、求二项式系数和：

（1）令，则

（2）令，则，即偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，也即

2、求各项系数和

（1）形如，求各项系数之和，只需令，则各项系数和分别为，；

（2）形如求各项系数之和，只需令，则各项系数之和为；

（3）若，则的各项系数之和为，

奇数项系数之和为，偶数项系数之和为

三、二项式系数的最值与项的系数的最值问题

1、二项式系数的最值问题

如果二项式的幂指数是偶数，中间项时第项，其二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，

它们的二项式系数和相等且最大；

2、项的系数的最值问题

求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可

四、应用二项式定理解决整除问题的方法

用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二项式，通常把被除数的幂的底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再利用二次项定理展开，只需考虑后面（或前面）的一项或两项即可。

注：在解决问题时要注意余数的范围，（为余数，，是除数），利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转化为正数。

【考点一：二项式系数及最值问题】

一、单选题

1．（23-24高二下·浙江·期中）的二项展开式中，第m项的二项式系数是（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（????）

A．9 B．10 C．11 D．12

3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（????）

A．15 B．20 C． D．1215

4．（23-24高二下·山东临沂·期中）的展开式的第5项的系数是（????）

A． B． C． D．

5．（24-25高二上·全国·随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（????）

A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项

6．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）二项式的展开式中无理项的项数为（??）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点二：展开式系数最值问题】

一、单选题

1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（????）

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项

2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（????）

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（????）

A． B． C． D．

4．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（????）

A．第1项和第3项 B．第2项和第4项

C．第3项和第1项 D．第4项和第2项

5．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最大的项为（????）

A．和 B．和 C．和 D．和

6．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）若，则取最大值时的值为（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【考点三：利用赋值法解决系数问题】

一、单选题

1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（????）

A． B． C． D．

4．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（???）

A．32 B．-32 C．0 D．1

5．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（???）

A． B． C． D．

6．（23-24高三上·四川内江·阶段