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量子力学中微扰理论的简单论述

摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。

关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论

目录

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1非简并定态微扰论 1

1.1理论简述 1

1.2一级微扰 3

1.3二级修正 4

1.4非简并定态微扰的讨论 6

1.5海曼—费曼定理 7

2简并定态微扰论 8

2.1理论简述： 8

2.2简并定态微扰论的讨论 10

3结束语 11

致谢 错误!未定义书签。

参考文献 11

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，，…，，…分别表示能级和波函数的一级，二级…修正。

将上两式代入薛定谔方程中得：

然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式：

：

：=

：

……

零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，……等各级的近似方程式。[3]

1.2一级微扰

求一级微扰修正只需要求解=。

由于厄米，的本征函数系系展开

将此式代入的近似薛定谔方程中的

为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归一性后，得

当时，得

当时，得

那么接下来计算，利用的归一条件，在准确到数量级后，

又因波函数归一，得：

将代入上式得

必为纯虚数，即

为实数。准确到的一级近似，微扰后体系的波函数是

上式表明，的贡献无非是使波函数增加了一个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取

因此，准确到一级近似，体系的能级和波函数是

上式表明，准确到一级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的一级修正，非对角元给出波函数的一级修正。[4]

1.3二级修正

求二级修正需要求解=

与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开

将此式代入上式得:

以左乘上式，并对全空间进行积分后得：

当时，得，考虑到0，由上式得：

当时，由上式得：

、

至于，同样可以由波函数的归一条件算出，由

得

或

同样，若取为实数，那么由上式得：

综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是：

同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。[5]

1.4非简并定态微扰的讨论

（1）由微扰后的能级可知，微扰实用的条件是

只有满足该式，才能满足微扰级数的收敛性，保证微扰级数中最后一项小于前一项。这就是的明确表示，微扰方法能否应用，不仅决定于微扰的大小，而且决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级之间的间距。只有当微扰算符在两个无微扰体系波函数之间的矩阵元的绝对值远小于五微扰体系相应的两能级间隔时，才能用微扰论来计算。这就是为什么必须要求作微扰计算的能级处于分立谱，因为如果能级是连续谱，它和相邻的能级的能级间距趋于零，对于除能外的其他所有能级，是不可能都被满足的。[6]

（2）如何在中划分和十分重要，和取得好，上式不仅可以满足，而且可以使级数收敛的很快，避免了繁长的微扰计算。一般，除了要求的本征值和本征函数必须已知外，还可以从体系的对称性及微扰矩阵元是否满足一定的选择定则来考虑划分和。

（3）能量本征函数和本征值的二级修正由相应的一级修正给出，这样我们可以说，微扰论其实也是一种逐步逼近法。

（4）关于的讨论：由得出，若设我们将看成一个可变化的参数，则显然当0时，，这时体系未受到微扰的影响；当1时，，微扰全部加进去了。因此、可以想象体系当从0缓慢变化到1的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微扰的状态的过程。[7]

1.5海曼—费曼定理

设是的函数，因此他的本征方程和归一条件为：

由上式得：

上式就是费曼—海曼定理，它通过对微扰参数的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。

2简并定态微扰论

2.1理论简述：

除一维束缚态外，一般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。

假定的第个能级有度简并，即对应于有个本征函数（=1，2，3…….）。与简并微扰不同，现在由于不知道在这个本征函数中应该取哪一个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第一个问题就是：如何适当选择零级波函数进行微扰计算。

设的本征方程是：

归一化条件是：

的本征方程是：

由于是完备系，将按展开后，得：

将此式代入