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椭圆大题习题及答案解析
1已知椭圆过点，且离心率为．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．
（Ⅰ）由题意得，，所以．
因为，所以所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.
所以直线的方程为，
所以，．设，．
由得，
由，得．且，．
所以.．
因为，所以．
整理得，解得，或．
经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．
所以，或．
2已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点,分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线与椭圆交于不同的两点、（、都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
】（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，
由椭圆的定义知,的周长为，∴，故
∴椭圆的方程为
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线
设，
把直线代入椭圆方程，整理可得,，即
∴，，
∵，
∵、都轴上方．且，∴，
∴，即,代入
整理可得，
即，整理可得，
∴直线，∴直线过定点
3已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点、、分别是椭圆的上、右、左顶点，且，点是的中点，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于点、，若的面积是，求直线的方程.
解：（Ⅰ）由题意知，，∴，
∵点是的中点，且，∴，∴，，
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）设，，直线：，
联立方程组，得，
∴，，
，
∴，
∴.∴直线的方程为或.
（解法2：求出弦长
点到直线的距离，所以，
∴.∴直线的方程为或.
4如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.
【小问1详解】
由题意，，则，所以，，所以，
解得：，，∴椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
（方法一）设，，则.
设直线：，由，得：，
，
由，得，
代入化简得：.
∵，
又点，在椭圆上，∴，，即，
∵，
∴.∴.即为定值.
（方法二）由，是椭圆上的点，可得，
把代入上式，化简，得，，
.
5已知椭圆的中心是坐标原点，左右焦点分别为，设是椭圆上一点，满足轴，，椭圆的离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆左焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，求内切圆半径的最大值.
【小问1详解】以．
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
设直线为，由，消去得，设，，则，
所以
所以，令内切圆的半径为，则，即，令，则，当且仅当，，即时等号成立，所以当时，取得最大值；
6已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．
【小问1详解】
，令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.
【小问2详解】
直线的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.
【小问3详解】
由第二问得：，此时，故，
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，
当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；
当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．
满足题意.所以原题得证，即直线过定点
7己知椭圆的左?右顶点分别为，点该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率，求证：_____________.
在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.
①直线与的交点在定直线上；
②；③.
.解⑴因为抛物线的焦点为.所以椭圆的右焦点用
又点在该椭圆上，所以
又，所以
椭圆的标准方程为
（2）选①设
联立得：
法一：直线的交点的横坐标为
所以直线AM与BN的交点在定直线上
法二：要证直线与的交点在定直线上，即，即证
即证，即证，即证
即证
因为
所以直线与的交点在定直线上.
选②设，联立得：
所以
法一：
法二：
所以
因为也同号，所以
法三：要证，即证，即证
即证，即证
因为
所以
法四：由得
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