离散型随机变量的方差+高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册.pptx

3.2.4离散型随机变量的方差

1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.

2.掌握二项分布的方差.

3.掌握离散型随机变量的方差的性质，能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.

问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.

如何评价这两名同学的射击水平?

X

6

7

8

9

10

P

0.09

0.24

0.32

0.28

0.07

Y

6

7

8

9

10

P

0.07

0.22

0.38

0.30

0.03

通过计算可得，

由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.

评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.

E(X)=8；E(Y)=8

问题2怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度?（如何比较离散程度）

为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.

比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.

追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?

样本的方差：

随机变量的方差：

X

x1

x2

∙∙∙

xn

P

p1

p2

∙∙∙

pn

离散型随机变量的方差

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.

这称为离散型随机变量X的方差.

随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.

在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.

证明：

例1有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，背面朝上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ=x·y.求：

(1)ξ所取各值的分布列；

(2)随机变量ξ的数学期望与方差.

求随机变量X的方差的步骤：

(1)确定随机变量的所有可能的取值；

(2)求随机变量各个取值对应的概率；

例2已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X).

解：因为随机变量X的分布列为

X

1

0

P

p

1-p

且E(X)=p

名称

两点分布

二项分布

X~B(n，p)

公式

D(X)=p(1-p)

E(X)=np(1-p)

常见分布的方差

思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化?离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化?它们和期望的性质有什么不同?

均值的性质：

方差的性质：

例3已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.

(1)求D(X)；

(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).

解：(1)因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即

X~B(50，0.02)，

所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.

(2)D(Y)=D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.

1.已知随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

B

2.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.

股票A收益的分布列

股票B收益的分布列

收益X/元

－1

0

2

概率

0.1

0.3

0.6

收益Y/元

0

1

2

概率

0.3

0.4

0.3

(1)投资种股票的期望收益大.

(2)投资种股票的风险较高.

A

A